主要内容

默顿

默顿跳跃扩散模型

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描述

的默顿函数创建默顿对象派生的“绿带运动”对象。

的默顿模型，基于Merton76模型，允许您模拟的样本路径据nvar状态变量由NBrowns布朗运动的风险来源和NJumps复合泊松过程表示重要事件的到来NPeriods连续观察期。模拟近似连续时间默顿随机过程。

可以模拟任何向量值默顿表单的过程

d X t ＝ B （ t ， X t ） X t d t + D （ t ， X t ） V （ t ， x t ） d W t + Y （ t ， X t ， N t ） X t d N t

在这里:

  • Xt是一个据nvar——- - - - - -1过程变量的状态向量。

  • B（t，Xt)是一个据nvar——- - - - - -据nvar广义期望瞬时收益率矩阵。

  • D（t，Xt）是一个据nvar——- - - - - -据nvar对角线矩阵，其中主对角线上的每个元素都是状态向量的对应元素。

  • V（t，Xt）是一个据nvar——- - - - - -据nvar瞬时波动率矩阵。

  • dWt是一个NBrowns——- - - - - -1布朗运动向量。

  • Y（t，Xt，Nt）是一个据nvar——- - - - - -NJumps矩阵值跳跃大小函数。

  • dNt是一个NJumps——- - - - - -1计数过程向量。

创建

语法

默顿=默顿(返回，西格玛，JumpFreq,JumpMean,JumpVol)
默顿(默顿)___、名称、值)

描述

例子

默顿=默顿(返回，σ，JumpFreq，JumpMean，JumpVol）创建默认值默顿对象。指定所需的输入为以下两种类型之一:

  • MATLAB®数组中。指定一个数组来指示静态(非时变)参数规范。该数组完全捕获所有实现细节，这些细节与参数形式明显关联。

  • MATLAB函数。指定一个函数来为几乎任何静态、动态、线性或非线性模型提供间接支持。接口支持此参数，因为函数隐藏并完全封装了所有实现细节。

请注意

您可以根据需要指定数组和函数输入参数的组合。此外，如果函数接受标量时间，则将参数标识为时间的确定性函数t作为它唯一的输入参数。否则，假设参数是时间的函数t和国家Xt并且使用两个输入参数调用。

例子

默顿=默顿(___，名称,值）集属性在前面语法中的输入参数之外使用名称-值对参数。将每个属性名用引号括起来。

的默顿对象具有以下属性属性：

  • 开始时间-初始观测时间

  • StartState-时间的初始状态开始时间

  • 相关—访问功能相关输入参数

  • 漂移-复合漂移率函数

  • 扩散-复合扩散速率函数

  • 模拟-模拟函数或方法

输入参数

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资产收益率的预期平均瞬时收益率，记为B（t，Xt)，指定为一个数组，时间的确定性函数，或时间和状态的确定性函数。

如果你指定返回作为数组，它必须是据nvar——- - - - - -据nvar表示期望(平均)瞬时回报率的矩阵。

如果将Return指定为时间的确定函数，则当调用返回用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回据nvar——- - - - - -据nvar矩阵。

如果你指定返回作为时间和状态的确定性函数，它必须返回一个据nvar——- - - - - -据nvar当你用两个输入调用它时:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个据nvar——- - - - - -1状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

瞬时波动率，记为V（t，Xt)，指定为一个数组，时间的确定性函数，或时间和状态的确定性函数。

如果你指定σ作为数组，它必须是据nvar——- - - - - -NBrowns瞬时波动率的矩阵或时间的确定函数。在这种情况下，每一行σ对应于一个特定的状态变量。每一列对应于一个特定的布朗不确定性源，并将状态变量暴露的大小与不确定性源相关联。

如果你指定σ作为时间的确定函数，当你调用σ用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回据nvar——- - - - - -NBrowns矩阵。

如果你指定σ作为时间和状态的确定性函数，它必须返回一个据nvar——- - - - - -NBrowns当你用两个输入调用它时:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个据nvar——- - - - - -1状态向量Xt

请注意

虽然默顿没有限制σ，波动率通常是非负的。

数据类型:双|function_handle

瞬时跳跃频率表示泊松过程的强度(单位时间内的平均跳跃次数)Nt驱动跳跃模拟，指定为一个数组，一个时间的确定性函数，或者一个时间和状态的确定性函数。

如果你指定JumpFreq作为数组，它必须是NJumps——- - - - - -1向量。

如果你指定JumpFreq作为时间的确定函数，当你调用JumpFreq用一个实数标量时间t作为它唯一的输入，JumpFreq必须出示NJumps——- - - - - -1向量。

如果你指定JumpFreq作为时间和状态的确定性函数，它必须返回一个据nvar——- - - - - -NBrowns当你用两个输入调用它时:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个据nvar——- - - - - -1状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

随机百分比跳跃大小的瞬时平均值J，其中log(1+J)正态分布，均值为(log(1+JumpMean) - 0.5 ×JumpVol2)和标准差JumpVol，指定为数组、时间的确定函数或时间和状态的确定函数。

如果你指定JumpMean作为数组，它必须是据nvar——- - - - - -NJumps矩阵。

如果你指定JumpMean作为时间的确定函数，当你CALJumpMean用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回据nvar——- - - - - -NJumps矩阵。

如果你指定JumpMean作为时间和状态的确定性函数，它必须返回一个据nvar——- - - - - -NJumps当你用两个输入调用它时:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个据nvar——- - - - - -1状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

log(1+。)的瞬时标准差J)，指定为一个数组，时间的确定性函数，或时间和状态的确定性函数。

如果你指定JumpVol作为数组，它必须是据nvar——- - - - - -NJumps矩阵。

如果你指定JumpVol作为时间的确定函数，当你调用JumpVol用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回据nvar——- - - - - -NJumps矩阵。

如果你指定JumpVol作为时间和状态的确定性函数，它必须返回一个据nvar——- - - - - -NJumps当你用两个输入调用它时:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个据nvar——- - - - - -1状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

属性

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第一次观测的开始时间，应用于所有状态变量，指定为标量。

数据类型:双

状态变量的初始值，指定为标量、列向量或矩阵。

如果StartState是标量，默顿对所有试验的所有状态变量应用相同的初始值。

如果StartState是一个列向量，默顿对所有试验的每个状态变量应用唯一的初始值。

如果StartState是一个矩阵，默顿在每次试验中对每个状态变量应用唯一的初始值。

数据类型:双

绘制高斯随机变量之间的相关性以生成布朗运动向量(维纳过程)，指定为NBrowns——- - - - - -NBrowns正半定矩阵，或作为确定函数Ct它接受当前时间t并返回NBrowns——- - - - - -NBrowns正半定相关矩阵。如果相关不是对称正半定矩阵，用什么nearcorr为一个相关矩阵建立一个正的半定矩阵。

一个相关矩阵表示一个静态条件。

如果你指定相关作为时间的确定性函数，您可以指定动态相关结构。

数据类型:双

此属性是只读的。

连续时间随机微分方程(SDEs)的漂移率分量，指定为a漂移对象或函数可通过(t，Xt）.

漂移速率规范支持采样路径的模拟据nvar状态变量由NBrowns布朗运动危险源结束NPeriods连续观测周期，近似连续时间随机过程。

使用漂移创建函数漂移表单的对象

F （ t ， X t ） ＝ 一个 （ t ） + B （ t ） X t

在这里:

  • 一个是一个据nvar——- - - - - -1向量值函数，使用(t，Xt)接口。

  • B是一个据nvar——- - - - - -据nvar矩阵值函数，使用(t，Xt)接口。

显示的参数为a漂移对象是:

  • 率-漂移率函数，F (t Xt）

  • 一个-截距项，X (t)t）的,F (t Xt）

  • B-一阶项，B (t) Xt）的,F (t Xt）

一个而且B支持查询原始输入。函数存储在率完全封装的组合效果一个而且B．

指定一个B因为MATLAB双数组清楚地将它们与线性漂移率参数形式联系起来。但是，指定任意一个一个或B作为一个函数，您可以自定义几乎任何漂移速率规范。

请注意

你可以表达漂移而且扩散对象的最一般形式，以强调功能(t，Xt)接口。但是，您可以指定组件一个而且B作为遵循公共(t，Xt)接口，或作为相应维数的MATLAB数组。

例子:F =漂移(0,0.1)%漂移率函数F(t,X)

数据类型:对象

此属性是只读的。

连续时间随机微分方程(SDEs)的扩散率分量，指定为a漂移对象或函数可通过(t，Xt）.

扩散速率规范支持对样品路径的模拟据nvar状态变量由NBrowns布朗运动危险源结束NPeriods近似连续时间随机过程的连续观测周期。

使用扩散创建函数扩散表单的对象

G （ t ， X t ） ＝ D （ t ， X t α （ t ） ） V （ t ）

在这里:

  • D是一个据nvar——- - - - - -据nvar对角矩阵值函数。

  • 的每个对角线元素D状态向量的对应元素是否被提升为指数的对应元素α，这是一个据nvar——- - - - - -1向量值函数。

  • V是一个据nvar——- - - - - -NBrowns矩阵值波动率函数σ．

  • α而且σ也可以使用(t，Xt)接口。

显示的参数为a扩散对象是:

  • 率-扩散速率函数，G (t, Xt）

  • α-状态矢量指数，它决定了的格式D (t) Xt）的G (t, Xt）

  • σ-波动率，V (t) Xt）的,G (t, Xt）

α而且σ支持查询原始输入。(个体的综合效果α而且σ参数完全封装在函数中率)。的率函数的计算引擎漂移而且扩散对象，并且是模拟所需的唯一参数。

请注意

你可以表达漂移而且扩散对象的最一般形式，以强调功能(t，Xt)接口。但是，您可以指定组件一个而且B作为遵循公共(t，Xt)接口，或作为相应维数的MATLAB数组。

例子:G =扩散(1,0.3)%扩散率函数G(t,X)

数据类型:对象

自定义仿真函数或SDE仿真方法，指定为函数或SDE仿真方法。

数据类型:function_handle

对象的功能

simByEuler 模拟默顿欧拉近似的跳跃扩散采样路径
simBySolution 模拟对角漂移的近似解默顿跳跃扩散过程
模拟 模拟多元随机微分方程(SDEs)钻，BM，“绿带运动”，CEV，圆形的，HWV，赫斯顿，SDEDDO，SDELD，SDEMRD，默顿,或贝茨模型

例子

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打开实时脚本

默顿跳跃扩散模型允许您模拟的样本路径据nvar状态变量由NBROWNS布朗运动的风险来源和NJumps复合泊松过程表示重要事件的到来NPeriods连续观察期。模拟近似连续时间默顿随机过程。

创建一个默顿对象。

资产价格= 80;Return = 0.03;σ = 0.16;JumpMean = 0.02;JumpVol = 0.08;JumpFreq = 2;mertonObj = merton(返回，Sigma,JumpFreq,JumpMean,JumpVol，.．.“startstat”AssetPrice)
mertonObj =类MERTON:默顿跳跃扩散----------------------------------------维度:状态= 1，布朗= 1 ---------------------------------------- StartTime: 0 StartState: 80相关性:1漂移:漂移率函数F(t,X(t))扩散:扩散率函数G(t,X(t))仿真:仿真方法/函数simByEuler Sigma: 0.16返回:0.03 JumpFreq: 2 JumpMean: 0.02 JumpVol: 0.08

更多关于

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算法

默顿跳跃扩散模型(Merton 1976)是Black-Scholes模型的扩展，通过在泊松过程中加入跳跃扩散参数来模拟资产价格的突然波动(包括上升和下降)Pt．

在风险中性测度下，模型表示如下

d 年代 t ＝ （ γ − 问 − λ p μ j ） 年代 t d t + σ 米 年代 t d W t + J 年代 t d P t 概率 （ d P t ＝ 1 ） ＝ λ p d t

在这里:

ᵞ为连续无风险利率。

问是连续股息收益率。

J随机百分比跳跃大小是否以跳跃发生为条件，在哪里

ln （ 1 + J ） ～ N （ ln (1 + u j ） − δ 2 2 ， δ 2

(1 +J)为对数正态分布:

1 （ 1 + J ） δ 2 π 经验值 ｛ − ( ln （ 1 + J ） − （ ln (1 + μ j ） − δ 2 2 ］ 2 2 δ 2 ｝

在这里:

μj的均值J(μj> 1)。

ƛp泊松过程的年频率(强度)是多少Pt(ƛp≥0)。

σ米资产价格的波动性(σ米> 0)。

在这个公式下，极端事件被明确地包含在随机微分方程中，作为扩散轨迹中随机发生的不连续跳跃。因此，观察到的对数回报的尾部行为与布朗运动之间的差异通过包含跳跃机制得到缓解。

参考文献

[1] Aït-Sahalia，雅辛。现货利率连续时间模型的检验财务研究检讨9日,没有。2(1996年4月):385-426。

[2] Aït-Sahalia，雅辛。利率和其他非线性扩散的过渡密度金融杂志54岁的没有。4 (aug 1999): 1361-95。

格拉瑟曼，保罗。金融工程中的蒙特卡罗方法．纽约:斯普林格出版社，2004年。

[4]赫尔，约翰·C。期权、期货和其他衍生品．第7版，普伦蒂斯出版社，2009年。

[5]约翰逊，诺曼·劳埃德，塞缪尔·科茨和纳拉亚纳斯瓦米·巴拉克里什南。连续单变量分布．第二版，概率与数理统计中的威利级数。纽约:Wiley, 1995年。

[6] Shreve, Steven E。金融随机演算．纽约:斯普林格出版社，2004年。

版本历史

R2020a中引入

另请参阅

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