这是做2 × 2矩阵的好时机,它们的特征值,以及它们的稳定性。2 × 2的特征值是最简单的,最容易理解的。很好地将2 × 2的情况从后面的n × n特征值问题中分离出来。
当然,让我记住特征值和特征向量的基本原理。我们在寻找一个向量x,和一个数字,特征值,使得Ax = x,换句话说,当我乘以a时,这个特殊的向量x不会改变方向。
它只是改变了长度的一个因子,可以是正的。它可以是零。可能是负面的。可以是复数。不过,这是一个数字。这是关键的方程。
我们来看看它的解。我要把它移到左边。所以我把同样的方程写成这样。现在我看到这个矩阵乘以这个向量得到0。
那么,什么时候有可能呢?这个矩阵不可逆。如果它是可逆的,唯一的解就是x = 0。没有好。所以这个矩阵一定是奇异的。
它一定是0。现在我们有了特征值的方程。就是我们平移矩阵的多少使行列式为0。我们移动乘以单位矩阵从对角线上减去它。
我可以从非常简单的2 × 2矩阵开始,我们第一次见过的那种,叫做伴矩阵。当我们有二阶方程时我们遇到了这个矩阵。我从方程y ' ' + By ' + Cy = 0开始。
我从一阶方程开始。然后引入y '作为第二个未知数。现在有一个未知的向量,y和y '然后,当我把方程写下来的时候——我就不重复了——它把我们带到了一个2 × 2矩阵。
两个方程,两个未知数,y和y '我们感兴趣的是一个2 × 2矩阵。但是我们对所有2 × 2的矩阵都感兴趣。我把它作为矩阵A,我的伴生矩阵。
我只是想通过这些步骤来找到它的特征值。这个矩阵的特征值是什么?我们取这个矩阵,从对角线上减去,然后取行列式。当我取2 × 2矩阵的行列式时,它就是这个乘以这个,就是-乘以-是²。
得到B。行列式的另一部分是这个乘积,减去c,但是它有一个负号,所以它是加上c,这是我的关于伴随矩阵的特征值的方程。当然你会发现这和指数s的方程是一样的。
矩阵情况下的和单二阶方程的s s1 s2是一样的。所以当矩阵有特征值= s时这个方程有解e ^ st,也就是s1和s2。
现在我们来看一个一般的2 × 2矩阵。它的特征值是什么?这个方程对于它的两个特征值是什么样的?这是一个特例。
这里,我有一个一般的矩阵,a b c d,我从对角线上减去。我要求行列式。这会给我两个特征值。让我们做它。
乘以-是²。然后我有- d和- a,所以我有a + a d。然后我有不包含的那部分。不包含的部分就是det (a bc d)它就是ad和- bc。
有一个ad和一个- bc,它们都是0。这是二次方程。一个2 × 2矩阵有两个特征值,方程的两个根。我只是想越来越多地理解根1 2和矩阵ab c d之间的联系。
如果我知道2 × 2矩阵,这告诉我特征值。这是一个二次方程,有两个根。如果我因式分解这个,这个就分解成- 1乘以- 2。当然,如果数字很好,我就能知道1和2是什么。
在这种情况下,我找到特征值。如果数字不好,那么1和2来自于二次公式,负b加减根号下(b²- 4ac)二次公式会解出这个方程,会告诉我这两个数。
如果我这样把它乘出来,我看到²。我看到-乘以1和2。然后加上1乘以2等于0。这里,我写出了两个的方程。这里,当我知道两个时,我已经写出了方程。
我为什么要这么做?我要把这个和这个匹配起来,看看这个数,不管它是什么,都和那个数相同。它们在这里,-的系数。这是第一步,1 + 2等于(a + d)
只需要匹配这两个方程。这就像一个关于二次方程的一般事实。根的和是负的系数。然后常数项就是常数项。1乘以2等于(ad - bc)
这些是关于一个2 × 2矩阵的事实,ab c d,特征值的和。这是特征值的和,所以我用s-u-m来表示我在看这个和,是a + d, a + d是对角线上的数字。这有点特别。
当我把对角线的数相加,我得到矩阵的迹。我要介绍一个词,trace。Trace是对角线上的累加。这和a + d相匹配。
这个是特征值1乘以2的乘积。这就是乘积。它等于a的行列式,我只是做了所有的简洁的联系对于2 × 2矩阵是特殊的。
所以如果我写下一些矩阵,我们可以马上看到它们。我写一个矩阵。假设我把这个矩阵写下来。哦,我把它们设为0,1,哦,0,4,啊,让我改进一下。
2 4 4 9。2 4 4 2就更简单了。对不起。我观察这个矩阵。我马上看到这个矩阵的两个特征值加起来等于4。2加2等于4。我做了追踪。
这个矩阵的两个特征值乘以行列式,就是2 * 2 = 4 - 16 - 12。所以这个矩阵的和是4。这个矩阵的行列式是4 - 16 = - 12。
也许我可以算出这两个数是4和- 12的加法。实际上,我认为它们是6和- 2。我认为这里的特征值是6和- 2因为它们加起来是4,迹,它们乘以6乘以- 2是- 12。这是决定因素。
2 × 2矩阵,你就有很好的机会看到发生了什么。现在,我今天这个视频的兴趣是利用所有这些,利用特征值,来决定稳定性。稳定性意味着微分方程的解趋于0。
我们记得它的解是e ^ st,它等于e ^ t, s和都来自同一个方程在二阶方程化简为伴随矩阵的情况下。我感兴趣的是什么时候特征值是负的。
什么时候特征值是负的?如果它们是复数,什么时候它们的实部是负的。我们能记住迹,和,乘积,行列式吗。回答稳定性的问题。
所以我已经为稳定做好了准备。稳定性意味着1和2都是负的。这是真实的情况。或者在复数情况下,等于某个实部加,减去某个虚部。然后我们希望实部是负的。
a的实部,也就是a,应该是0。这就是我们的要求。如果特征值是复数,我们得到一对它们的实部应该是0所以e的。关于这个- a的关键是e的at次方会趋于0。这些负的关键在于e的t次方会趋于0。
这是稳定。我的问题是,矩阵的什么检验决定了特征值?我们可以看看这个矩阵吗,也许我们不需要找到那些特征值。也许我们可以利用这个事实。
事实是1 + 2是迹1乘以2是行列式。我们可以从矩阵中读出这些数字。然后是一个二次方程。
但如果我们只想知道特征值是负的吗?实部是负的吗?我们可以从这些数字中得到信息而不需要从那个二次方程中找到特征值。做起来并不难,但我们不必这么做。
假设我们有两个负的特征值。当然,这意味着轨迹是负的。因为轨迹是特征值的和。如果这两个都是负的,trace就是负的。所以我们可以马上查一下追踪的情况。
行列式呢?如果这个是负的,这个也是负的,那么乘以它们会得到一个正数。所以行列式应该是正的。trace小于0。行列式大于0。这就是稳定性测试。
这就是稳定性测试。稳定。2 × 2矩阵A B C D,如果它的迹是负的行列式是正的,它是稳定的。这是测试。
实际上,如果是复数也成立因为1加上2,1等于a + i。2是a -。和就是2a。我们希望它是负的。
trace还是负的。跟踪负数即使根是实数或者是复数。这仍然告诉我们根的和是负的行列式也成立。
如果(a + i)乘以(a- i)在这种情况下,1乘以2,如果我把这些数相乘,就得到(a²+²)加上。所以这是正的。我们很好。
所以我的结论是,这是对稳定性的测试。我可以把它应用到一些矩阵上。我写了一些矩阵。我能看看这个测试吗——你能看看这个测试吗——然后应用它看看。
这里有个例子。比如- 2 - 1 3 4。这样好吗?迹是- 3。这很好。行列式是2 - 12 - 10。这是不好的。这是不好的。
所以这是不稳定的。它的行列式是负的。不稳定的。我用x穿过它。不稳定的。
让我拿一个稳定的。稳定1,我想要- 5和1。没关系。痕迹是阴性的。- 4。现在我想让行列式为正。
也许我应该写6和- 7。只是选择数字。现在行列式是- 5 + 42。一个很大的正数。并通过行列式检验。这是可以的。这个是稳定的。
如果这是矩阵A,那么dy / dt = Ay y ' = Ay的解就是微分方程。追踪特征向量的两个解会有负的。是负的,因为迹是负的,行列式是正的。通过稳定性检验,解趋于负无穷。
这是2乘2。谢谢你!
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