微分方程与线性代数,6.4:矩阵指数,exp(A*t)
从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
最短形式的解使用矩阵指数y= e在y(0).矩阵e在有特征值eλt的特征向量一个。
好的。我们仍然在解含有矩阵a的微分方程组。
现在我要建立指数。产生e ^ A,或者e ^ at是很自然的,矩阵的指数。如果我们有一个方程,小a,那么我们知道解是e ^ at,乘以初始值。
现在我们有n个方程,一个矩阵a和一个向量y,解应该是,在时刻t, e ^ at,乘以初始值。它应该和这个完全匹配,这个指数中有一个数这个指数中有一个矩阵。
好的。没有问题。我们用e ^ at的级数代入一个矩阵而不是一个数字。恒等式,加上at,加上1/2 at方,加上1/6 at立方,一直这样。这是一样的。它是指数级数。我认为这是数学中最重要的级数。
它给出了一个答案。这个答案是一个矩阵。这里的每一项,每一项,都是矩阵。
好的。这是正确答案吗?我们把它代入微分方程来检验。我想把这个解代入方程。我需要求导。
它的导数是它的导数,这是个常数。这个的导数是a,这个的导数是1/2。有一个A的平方,还有一个t的平方。t²的导数是2t,所以这就是t, 2和2消掉了。
好的。这里是A³。t立方?t³的导数是3t²,所以有t²。3消掉3和6,剩下1 / 2 !以此类推。
我看着它。我说它和上面那个很像。看。这个级数就是A乘以这个。上面这个乘以A, A乘以I等于A, A乘以at等于A²t,一项接着一项,它只有一个因子A。
所以它是e的at次方,是矩阵指数的导数。它会把a降下来,这正是我们想要的。正是我们想要的。
如果我在这里加上y(0)它就是一个常数向量。y = 0。这里是y (0)当我把它代入微分方程时,它是成立的。它的工作原理。
现在,它比我们之前用特征值和特征向量的方法更好吗?在某一方面它更好。这个指数,这个级数,无论我们是否有n个独立的特征向量,都是没问题的。我们可以有重复的特征值。
我举个例子。对于重复的特征值和缺失的特征向量,e ^ at仍然是正确答案。仍然是正确答案。但是如果我们想用特征值和特征向量来计算e ^ at,因为我们不想经常把一个无穷级数加起来,那么我们需要n个独立的特征向量。
我在说什么?我说这个e ^ at,好的,假设我们有n个独立的特征向量。我们知道这意味着,在这种情况下,a等于V乘以V逆。我们可以写出V逆因为矩阵V有特征向量。
这是特征向量矩阵。如果我有n个独立的特征向量,这个矩阵是可逆的。我有一个很好的公式。现在我知道了,e ^ at总是恒等加A。
我现在要用对角化,特征向量,和a的特征值,所以我现在在做一个好的例子,当有一组独立的特征向量。那么at等于V V逆t,对的,这是I,加上at,加上1/2 at方。对吧?
所以我需要A ^ 2。大家都记得A方是什么。A方等于V V逆,乘以V V逆。这些消掉得到V²V逆,乘以t²,等等。
还记得这个A ^ 2吗,我把它拿走。看看我得到了什么。看看我带来了什么。是的。开始时提出因子V,结束时提出因子V逆。
在这里我有V乘以V逆是I,这很好。V乘以V逆,我有a t V和a V逆,所以我有1/2 /²t²。以此类推,乘以V逆。
这正是我们所希望的。我们期望在最左边的最前面有一个V形突起。V逆从最右边出来。你在中间看到了什么?
你看,这是e ^ at的公式,是v,我得到了什么?我有t的指数级数,所以它是e的V逆。
e的t次方是多少?我们先来理解矩阵指数。当矩阵是对角线时,最好的矩阵,这是v,我的矩阵是什么样的?V逆。
如果我看着这个,看着这个。是对角线。所有这些矩阵都是对角线的。也就是e ^ (1t)到e ^ (nt)
我没有做什么了不起的事。我只是用标准对角化从特征向量矩阵和特征值得到指数。我只是取n个不同特征值的指数。
e ^ at,这就得到e ^ at y (0) y(0)是一个组合。然后有一个e ^ (1t)从这里出来。有一个x特征向量x1,加上C2 e ^ (2tx2)等等。
这是我们上次得到的解。这就是利用特征值和特征向量的解。
现在。我能在这儿吃点新东西吗?假设不存在n个独立特征向量的集合。e ^ at还是可以的。但这个公式并不好。这个公式依赖于V和V逆。
假设我们有一个例子。所有这些都很好。这就是我们所期望的。
但是我们可以有这样一个矩阵。A等于,这是一个极端情况。
这个矩阵的特征值是什么?它是一个对角矩阵。特征值是0和0。特征值0是重复的。它是一个二重特征值。
我们希望有两个特征向量,但是我们没有找到它们。它只有一行特征向量。我想它只有x1 = 1,0。如果用A乘以x1,得到0乘以x1。这是一个特征向量。
因为特征值是0,我在寻找零空间。零空间中有,但零空间只是一维的。只有一个特征向量。缺少一个特征向量。
我仍然可以求e ^ at,这还是完全正确的。这个系列行得通。
为了做这个级数,我需要知道a的平方。实际上我要用级数,但是你会看到它很快就被截断了。A ^ 2,如果算出来,都是0。
e ^ at等于I + at + STOP。A的平方都是0。A³都是0。所以矩阵e ^ at是单位矩阵,A乘以t A是这个,乘以t把t放在这里。
好了。这是矩阵指数的一种情况,它会引导我们解方程。当然,这是一个很简单的指数。
但它来自非常简单的方程。方程dy / dt,两个方程组,里面有一个矩阵。我们的方程组是dy1 dt,这里有一个1,所以它是y2。第二行上的dy2 / dt = 0。
这很容易解。事实上,这告诉你如何解——你很自然地会问这个问题,当矩阵没有n个特征向量时我们如何解微分方程?
举个例子。这个矩阵只有一个特征向量。但是我们刚刚解的方程,你可以说,反向替换。得到Y2等于常数。然后这个方程,dy1 dt等于这个常数,得到y1等于t乘以常数。这就是我所看到的。
哦。是的。看到t出现在这里你感到惊讶吗?通常我在矩阵指数中看不到t。但是在这个重复的例子中,当我们有重复的解时我们总是会看到t。
大家都记得,当我们有二阶方程时,两个指数是相同的。所以我们只能得到一个解,e ^ st,我们需要寻找另一个解。另一个呢?te的st次方,还是t。
好的。有一个例子是关于一个缺少特征向量的矩阵,指数插入一个t。指数插入一个t。
如果我有两个缺失的特征向量,那么在指数中。我要给你们看一个例子吗有两个缺失的特征向量?
设a是,这里是0 0 0 0 0 0 3个0,我们说。有一个矩阵有三个0特征值,但只有一个特征向量。所以它缺少两个特征向量。最后,在e ^ at中,我可能会看到1 1 1 t t,可能会看到1/2 t²。
有点像这样。但更糟的是。因为三重特征值,在现实中不会经常发生。但我们看到它产生了什么。它产生了t的平方和t。
好的。x矩阵指数给出了一个漂亮,简洁,简短的解公式。它给出了一个正确的公式,即使在缺少特征向量的情况下。
谢谢你!
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