好的。第三个视频是关于二阶常系数方程的稳定性。但我们会继续讲矩阵。这是一个非常特别的视频。这是我们熟悉的方程。我用a到b1,我只是把a除了,没问题。
这是一个二阶方程。但是我们知道如何将它转化为两个一阶方程。它们就在这里。这是两个方程。这是一个2 × 2矩阵。我来读一下上面的方程。它说dy / dt = 0y + 1dy / dt。所以这个方程很简单。Dy dt等于Dy dt。
第二个方程是实方程。y '的导数是y ' '这是二阶导数,等于- cy和- b y '这就是方程y ' '当我把- cy除以+ cy,把- by '除以+ by '我有我的方程。所以这个方程和这个方程是一样的。它只是用一个未知的向量表示。这是一个方程组,两个方程的方程组。
它有一个2 × 2矩阵。它被称为,这个带有0和1的特殊矩阵被称为伴随矩阵。伴方程,这是那个的伴方程。
好的。所以无论我们对这个方程知道什么,从指数s1和s2,我们将从这个方程得到相同的信息。但是语言变化了。这就是这集视频的重点,告诉你们语言的变化。这就是它。原来的指数,s1和s2,对于这个问题,所有看这个视频的人都记得s解s方加b加C等于0。这就是s的含义。
它有两个根,s1和s2控制着一切,控制着稳定性。如果我用这种语言写,我不再叫它们s1和s2。但它们是相同的两个数。我称之为特征值,一个很酷的词,一半德语一半英语,有点疯狂的词。但它已经被证实了。
这些相同的数叫做矩阵的特征值。你看,这个问题中的矩阵是一样的。我们得到了和方程相同的信息。这些就是特征值。我能告诉你一些你可能已经知道的事吗?每个人都写,一个希腊的,作为特征值。我有两个指数,这里我有两个特征值。这些数字和那些数字是一样的。它们满足相同的方程。
当我们恰当地遇到矩阵和特征值时很快,我们就会看到其他矩阵的特征值。我们会看到对于这些特定的伴随矩阵,特征值解的方程和指数解的方程是一样的,二次方程s方,b和C等于0。
好的。而稳定性,记住,稳定性就是指数根的实部小于零,因为指数的实部是负的,并且趋于零。现在我们用的是,这是我们的旧语言。我们的新语言是小于零的实部。
稳定矩阵是特征值的实部,小于零。我们只是把字母s和一个高阶方程换成了字母,和两个一阶方程。好的。我做这个没有,只是把和s联系起来,但是没有单独告诉你是什么。
好的。让我回忆一下。这里我又向前进了一步。因为基本上我已经讲了关于二阶方程的一切。我们知道稳定的条件。条件是阻尼应为正,B应为正。频率的平方最好是正的。所以C应该是正的。所以当这是我们的矩阵时B和C是正的。
现在我只剩几分钟了。为什么我不允许任何2 × 2矩阵。我不会在这里给出特征值的理论。但是要把它们联系起来。好的。所以我想把它们联系起来。你记得伴随矩阵有一个特殊的形式0。a是0,b是1,c是- c, d是- b,这是伴数。
那么在这么早的时候,关于特征值我要说什么呢?因为我得把它们做得很好。特征值和特征向量是方程组的关键。你们明白我说的系统是什么意思吗?这意味着未知,我有不止一个方程。
我的矩阵是2 × 2,或3 × 3,或n × n,未知的z有2 3或n个不同的分量。这是一个向量。z是一个向量。一个矩阵乘以一个向量。这就是矩阵的作用。他们乘向量。这就是总体情况。这是一个特别重要的案例。
所以我们可以确定稳定性。我来总结一下这个系统的稳定性。稳定性是,我必须告诉你们一些关于这个方程组的解的东西。记住z是一个向量。这是解。Z是,这是关键。有一个e,你期望指数。你现在期望特征值而不是s。现在我们需要一个向量。我称这个向量为x1。 And this will be the eigenvector. And this is the eigenvalue.
如果我寻找这种形式的解,把它代入我的方程,就会跳出特征向量的关键方程。再一次,我把它代入方程,希望得到解。我会发现a乘以这个向量x1应该是1乘以x1。我有很多话要说。
但如果它成立,如果a * x1 = 1 * x1,那么当我代入这个时,这个方程成立。我有办法了。我有一个解。当然对于二阶方程,我要寻找两个解。所以完整的解也应该是——我可以让它是线性的。所以我总是可以乘以一个常数。然后我期望第二个,同样的形式,e的其他特征值次方,就像其他指数乘以其他特征向量。
这是我的前瞻性信息,解决方案看起来是这样的。我们在寻找一个特征值,寻找一个特征向量。这是他们必须满足的关键方程。这个方程是当我们把它代入微分方程使两边一致时得到的。这就是接下来要讲的。本征值和本征向量控制方程组的稳定性。
这是世界上最关注的,单一的方程,偶尔,但经常是一个系统。这将是特征值告诉我们的。特征值是正的吗?那样的话我们会爆炸,不稳定。特征值是负的吗,或者至少实部是负的?这就是我们所讨论的稳定情况。好,谢谢。
您也可以从以下列表中选择网站:
如何获得最佳的网站性能
选择中国网站(中文或英文)以获得最佳的网站表现。其他MathWorks国家网站没有针对从您的位置访问进行优化。