从特征值和特征向量开始。我们需要这些的原因是为了解线性方程组。系统意味着不止一个方程,n个方程。例子中N等于2。
特征值是一个数,特征向量是一个向量。它们都藏在矩阵里。一旦我们找到他们,我们就可以利用他们。让我告诉你们特征值被创造,发明,发现的原因是解微分方程,这是我们的目的。
为什么现在是一个向量,这是一个方程组。我马上会做一个例子。A是一个矩阵。我们有n个方程,y的n个分量,A是一个n × n矩阵,n行,n列。好。
现在我可以马上告诉你特征值和特征向量在哪里有用。它们进入解。我们寻找这样的解决方案。当我们有一个方程时,我们只寻找e ^ st的解,我们找到了数字s,现在我们有e ^ t——我们把s变成了,没有问题——但是乘以一个向量因为我们的未知数是一个向量。这是一个向量,但它与时间无关。这就是它的魅力所在。所有的时间依赖都是指数关系,一如既往。x是指数的倍数,你们会看到的。
所以我寻找这样的解。我把它代入微分方程会发生什么?这是我的方程。我代入e ^ (tx)这是y,这是A乘以y。现在,对y求导,对时间求导,得到一个。为了得到导数,我包含了。
你们看到了吗,用这个漂亮的符号代入这个式子是正确的。我的方程变成了这种形式。现在我消掉t,就像我以前消掉e ^ st一样,我消掉e ^ t因为它从不为零。我有一个大的方程,Ax,矩阵乘以特征向量,等于x,这个数,特征值,乘以特征向量。不是线性的,请注意。两个未知数相乘。一个数乘以一个向量x。
那我要找什么?我在寻找向量x,特征向量,因此乘以A——乘以A乘以x得到一个数乘以x,它与x的方向相同,只是长度变了。如果= 1,就得到Ax = x,这是允许的。
如果= 0,Ax = 0。没关系。我不想让x等于0。这是无用的。知道0是解是没有用的。所以x不应该是0。可以是任何数。它可以是实数,也可以是复数,你们会看到的。即使矩阵是实数,也可以是复数。Ax = x,这是个大方程。 It got a box around it.
现在我准备做一个例子。在这个例子中,首先,我要找出没有系统的特征值和特征向量,在2 × 2的情况下就可以了。我会给出一个2 × 2矩阵a,我们会找到和x,然后我们就会得到微分方程组的解。好。
有系统。这是y1的第一个方程,'的意思是导数,d比dt,时间导数,是线性的,一个常系数。第二个,线性的,常系数,3和3。这些数字,5 1 3 3,进入矩阵。这个问题就是y ',这个向量的导数,等于A乘以y,这就是我的问题。
现在特征值和特征向量可以解它。我只看这个矩阵。矩阵的问题。特征值是什么,这个矩阵的特征向量是什么?记住,我要求Ax = x。
我发现了第一个特征向量。1、1。我们可以检查一下它是否有效。如果我用A乘以那个特征向量,当我乘以1的时候,你们看到发生了什么吗?结果是6。结果是6。所以A乘以这个向量是。这是6乘以。好了。找到第一个特征值。 If I multiply A by x, I get 6 by x. I get the vector 6, 6.
现在,第二个问题。同样,我已经提前做过了,得到了这个特征向量,我认为它是1 - 3。所以我们乘以a,试试第二个特征向量。我应该称第一个为x1和1。我应该称它为x2和2。我们可以找出2是什么,一旦我找到特征向量。我用ax来识别特征值。
5 1乘以这个等于5 - 3等于2。这是一个2。这里是2。从3 3得到3 - 9 = - 6。这就是我得到的Ax。这是x,当我做乘法时,Ax是2 - 6。好。
输出是输入的两倍。特征值是2。对吧?我在寻找输入,特征向量,所以输出是一个数乘以那个特征向量,那个数是,特征值。现在我找到了两个。我希望2 × 2矩阵是2。你很快就会明白为什么我期望两个特征值,而每个特征值应该有一个特征向量。
这是这个矩阵的表达式。所以我现在有了答案。y (t)代表y1和y2 (t)它们是e ^ (tx)记住,这就是我们要找的图像。
第一个是e ^ (6t) * x,也就是。如果我把它代入方程,它会解出方程。还有,我还有一个。E的2次方是2t。E的t次方乘以它的特征向量,1 - 3。这也是一个解。一个解,另一个解。
线性方程怎么办呢?我带的组合。任意数的c1加上任意数的c2仍然是一个解。这就是叠加,线性方程的解相加。这些是零方程。这些方程中没有力项。我不是在处理一个力项。我在寻找零解,方程本身的解。
这里有两个解,两个系数可供选择。我如何选择他们?当然,我满足初始条件,所以在t = 0时。当t = 0时。当t = 0时,有y (0)这是给定的初始条件,y和y。
我设t = 0,这当然是其中之一。当t = 0时,它是1。我有c1乘以。c2,在t = o时也是1,乘以1 - 3。这决定了c和c。C1和c2都来自初始条件一如既往。
我在解两个一阶常系数线性方程,齐次的,意思是没有力项。所以我得到一个零解,有常数可以选择,和往常一样,这些常数来自于匹配初始条件。初始条件是一个向量。例如,如果y(0) = 2 - 2,那么我就需要这两个中的一个和这两个中的一个。好的。
我用特征值和特征向量来解一个线性系统,它们的首要目的。好的。但是我怎么找到这些特征值和特征向量呢?其他房产呢?特征值和特征向量是怎么回事?我能再花几分钟讲一下特征值和特征向量吗?基本事实,下个视频我会讲如何找到它们。好的,基本事实。
基本的事实。从Ax = x开始,假设我们找到了它们。你能告诉我A平方的特征值和特征向量吗?我想知道A平方的特征值和特征向量是什么。他们和这些有关系吗?假设我知道x,也知道A的,那么A的平方呢?
好的,好的方面是特征向量对于A方是相同的。我来演示一下。我说相同的x,所以这是相同的x,相同的向量,相同的特征向量。特征值是不同的,当然,对于A的平方,但特征向量是相同的。我们看看A ^ 2会怎样。
这是Ax,对吧?一个A,另一个Ax。但Ax = x,明白了吗?这就是Ax。这是好的。现在是一个数。我喜欢把它放在我能看到的地方。我什么都没做。这个数乘以了所有的数,所以我把它放在前面。
现在斧子。这里还是Ax。同样的,x因为我看到的是相同的x,所以我得到的是相同的。这是x,另一个。得到²x,这就是我想要的。A²x等于²x。
结论。特征向量保持不变,趋于²。特征值是平方。
如果我再举一个例子,让我找出这个矩阵。假设我有同样的矩阵我对A的平方感兴趣,那么特征值就是36和4,平方。我想我是在看一个矩阵的n次方。你可能会问为什么要看n次方?但是有很多例子来研究矩阵的n次方,也就是千次方。
我们把结论写下来。同样的推理,A的n次x次方是。x是一样的,每次乘以A,都乘以A。得到n次。这里有个方便的规则。
这确实告诉了我们特征值的用处。特征值对于随时间移动的东西是有用的。微分方程,它是随着时间移动的。N = 1是第一次,N = 0是开始。移一步到n = 1,再移一步到n = 2。继续。每一个时间步都是乘以。
这是一个非常有用的规则。另一个方便的规则是A加上恒等矩阵?假设我把单位矩阵加到原矩阵上。特征值发生了什么?特征向量发生了什么?基本的问题。或者我可以用一个常数乘以恒等式,2乘以恒等式,7乘以恒等式。
我想知道它的特征向量是什么。答案是一样的,相同的x。x是一样的,我通过算出这里的值来表示。这是Ax,也就是x,这是c乘以恒等式乘以x,恒等式没有任何作用,所以这就是cx。
现在我得到了什么?我已经看到特征值是+ c,所以这是特征值。我认为这是将A平移恒等数倍。平移A,加上5乘以恒等矩阵。如果我对任意矩阵加上5乘以单位矩阵,这个矩阵的特征值增加5。特征向量保持不变。
只要我继续处理这个矩阵a,取幂,加上单位矩阵的倍数,然后取指数,无论我做什么我都保持相同的特征向量一切都很简单。
如果我有两个矩阵,A和B,有不同的特征向量,那么我不知道A + B的特征向量是什么。我不知道这些。我不能说出A乘以B的特征向量因为A有它自己的特征向量B也有它的特征向量。除非它们是相同的,否则我不能轻易地将A和b结合起来。但和往常一样,我只使用一个A,以及它的幂和步骤,没有问题。
好的。我将在这里停下来,首先看一下特征值和特征向量。
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