主要内容

选择一个小波

小波分析分为连续小波分析和多分辨小波分析两种。最适合您工作的小波分析类型取决于您想对数据做什么处理。本主题主要讨论一维数据，但您可以将相同的原则应用于二维数据。要了解如何执行和解释每种类型的分析，请参见连续小波分析实用导论而且多分辨率分析实用导论．

时频分析

如果您的目标是执行详细的时频分析，请选择连续小波变换(CWT)。在实现方面，CWT比离散小波变换(DWT)对尺度进行了更精细的离散。有关其他信息，请参见连续和离散小波变换．

瞬时频率

对于瞬时频率快速增长的信号，CWT优于短时傅里叶变换(STFT)。下图中，双曲啁啾的瞬时频率在谱图和cct衍生的尺度图中以虚线表示。有关其他信息，请参见时频分析与连续小波变换．

本地化瞬变

CWT在非平稳信号的瞬态定位中表现良好。在下面的图中，观察小波系数与信号中发生的突变的吻合程度。有关其他信息，请参见连续小波分析实用导论．

支持小波

要获得数据的连续小波变换，请使用类而且cwtfilterbank．这两个函数都支持下表所列的解析小波。默认情况下,类而且cwtfilterbank使用广义莫尔斯小波族。这个族由两个参数定义。您可以改变参数来重新创建许多常用的小波。时域图中，红线和蓝线分别为小波的实部和虚部。等高线图显示了小波在时间和频率上的传播。有关其他信息，请参见莫尔斯小波而且广义莫尔斯和解析莫莱小波．

小波 特性 的名字 时间域 时频域
广义莫尔斯波 可以通过改变两个参数来改变时间和频率的分布吗 “莫尔斯”(默认)

分析Morlet (Gabor)小波 时间和频率的方差相等 “埃莫”

撞小波 时间方差越大，频率方差越小 “撞”

表中所有的小波都是解析的。解析小波是具有单边谱的时域复值小波。这些小波是使用CWT获得时频分析的一个很好的选择。由于小波系数是复值的，所以CWT提供了相位信息。类而且cwtfilterbank支持分析和反分析小波。有关其他信息，请参见CWT-Based时频分析．

多分辨率分析

在多分辨率分析(MRA)中，你在逐步粗糙的尺度上近似一个信号，同时记录在连续尺度上近似之间的差异。您可以通过对信号进行离散小波变换(DWT)来创建近似和差异。DWT为许多自然信号提供了稀疏表示。通过将信号与缩放函数的缩放和翻译副本进行比较，形成近似。连续尺度之间的差异(也称为细节)是使用小波的缩放和翻译副本来捕获的。在一个日志2尺度，连续尺度之间的差总是1。在CWT的情况下，连续尺度之间的差异更细微。

在生成MRA时，您可以在每次增加或不增加比例尺时对近似进行2倍的次抽样(decimate)。每种选择都有优缺点。如果你进行次采样，你会得到和原始信号相同数量的小波系数。在decimated DWT中，平移是比例的整数倍。对于非decimated DWT，平移是整数移位。非decimated DWT提供原始数据的冗余表示，但不像CWT那样冗余。您的应用程序不仅会影响您对小波的选择，而且还会影响您使用哪个版本的DWT。

能源保护

如果在分析阶段保持能量很重要，那么必须使用正交小波。正交变换保留能量。考虑使用具有紧凑支持的正交小波。记住，除了Haar小波，具有紧支撑的正交小波是不对称的。相关滤波器具有非线性相位。该表列出了支持的正交小波。看到wavemngr(“读”)对于所有小波家族名称。要更多地了解一个特定族，包括该族中可用的小波，请使用waveinfo和家族的简称。例如,waveinfo (db)．

正交小波家族
(家庭短名称)		 特性 小波的名字 另请参阅 代表
Best-localized Daubechies (“提单”）

类似于小波的紧支持小波;通过减少额外的时间秒矩，时间上消除了符号的不对称性;扩展过滤器N消失的时刻

 “提单N＂,在那里N= 7,9,10 blscalf

Beylkin (“beyl”） 有18个系数，有3个消失矩。 “beyl”

Coiflets (“头巾”） 尺度函数和小波具有相同的消失矩数N “头巾N＂,在那里N= 1, 2，…, 5 coifwavf

Daubechies (“数据库”） 非线性阶段;能量集中在他们支持的开始附近;最高消失次数N对于给定的支撑宽度 “dbN＂,在那里N= 1, 2，…, 45岁 dbaux，dbwavf，极值相位小波系数

Fejer-Korovkin (“颗”） 构造滤波器，以最小化有效缩放滤波器和理想sinc低通滤波器之间的差异;过滤器N系数，在离散小波包变换中特别有用。 “颗N＂,在那里N= 4,6,8,14,18,22 fejerkorovkin

哈尔(“哈雾”） 对称的;Daubechies特例;用于边缘检测 “哈雾”同样,“db1”

Han线性相位矩(“汉”） 以求和规则的特定顺序为特征的老线性相位矩的阶数LP “汉老．LP＂；要确定支持的值，请使用waveinfo和家族的简称 hanscalf

莫里斯最小带宽(“m”） 由滤波器系数数指定的莫里斯最小带宽正交小波(点)N和离散小波变换的水平l用于优化;不通过默认的正交性检查isorthwfb “mbN．l＂；要确定支持的值，请使用waveinfo和家族的简称 mbscalf

Symlets (“符号”） 不对称;近线性相位;N消失的时刻 “信谊N＂为N= 2,3，…, 45岁 symaux，symwavf，最小不对称小波和相位

Vaidyanathan (“乌”） 有24个系数;没有通过默认的正交性检入isorthwfb “乌”

根据处理边界扭曲的方式，DWT可能无法在分析阶段保存能量。有关更多信息，请参见边界效应．最大重叠离散小波变换modwt和最大重叠离散小波包变换modwpt节约能源。小波包分解方法进行不节约能源。

特征检测

如果你想找到紧密间隔的特征，选择支持度较小的小波，例如哈雾，db2,或sym2．小波的支持度要小到足以分离出感兴趣的特征。支持度较大的小波往往难以检测紧密间隔的特征。使用支持度大的小波可能会导致无法区分单个特征的系数。在下面的图中，上面的图显示了一个带有峰值的信号。下面的图显示了最大重叠DWT的第一级MRA细节哈雾(粗蓝线)和db6(粗红线)小波。

如果您的数据有稀疏间隔的瞬态，您可以使用支持更大的小波。

方差分析

如果您的目标是进行方差分析，则最大重叠离散小波变换(MODWT)适合于此任务。MODWT是标准DWT的变体。

  • MODWT在分析阶段节省了能量。

  • MODWT划分了不同尺度的差异。有关示例,请参见金融数据的小波分析而且小波Changepoint检测．

  • MODWT需要一个正交小波，如Daubechies小波或Symlet。

  • MODWT是一个移不变变换。移动输入数据会使小波系数移动相同的量。decimated DWT不是移位不变的。改变输入改变系数，可以跨尺度重新分配能量。

看到modwt，modwtmra,modwtvar为更多的信息。另请参阅比较MODWT和MODWTMRA．

冗余

取decimated DWT，wavedec，使用标准正交小波族的信号提供了信号的最小冗余表示。小波在尺度内和尺度间没有重叠。系数的数量等于信号样本的数量。当您想要删除未被感知的特征时，最小冗余表示是压缩的好选择。

信号的CWT提供了信号的高度冗余表示。小波在尺度内和尺度间有显著的重叠。此外，考虑到尺度的精细离散化，计算小波变换和存储小波系数的成本明显大于小波变换。的MODWTmodwt也是一个冗余变换，但冗余因子通常明显小于CWT。冗余倾向于加强您想要检查的信号特征和特征，如频率中断或其他瞬态事件。

如果你的工作需要用最小的冗余来表示一个信号，使用wavedec．如果您的工作需要冗余表示，请使用modwt或modwpt．

去噪

正交小波，如Symlet小波或Daubechies小波，是信号去噪的好选择。双正交小波也可以很好地用于图像处理。双正交小波滤波器具有线性相位，这对图像处理非常关键。使用双正交小波不会在图像中引入视觉失真。

  • 正交变换不会产生白噪声。如果将白噪声作为正交变换的输入，则输出为白噪声。使用双正交小波颜色白噪声进行小波变换。

  • 正交变换保留能量。

的sym4中的默认小波wdenoise而且小波信号降噪应用程序。bior4.4双正交小波是默认的小波wdenoise2．

压缩

如果您的工作涉及到信号或图像压缩，可以考虑使用双正交小波。该表列出了支持紧支持的双正交小波。

双正交小波的家庭
(家庭短名称)		 特性 小波的名字 代表
双正交样条(“bior”） 紧凑的支持;对称的过滤器;线性相位;指定的Nr而且Nd，分别为重构和分解滤波器的消失矩数 “biorNr．Nd＂；看到waveinfo(“bior”)对于支持的值

反向双正交样条(“rbio”） 紧凑的支持;对称的过滤器;线性相位;指定的Nr而且Nd，分别为重构和分解滤波器的消失矩数 “rbioNd．Nr＂；看到waveinfo(“rbio”)对于支持的值

有两个缩放函数-小波对，一对用于分析，另一对用于合成，这对压缩很有用。

  • 双正交小波滤波器是对称的，具有线性相位。(见最小不对称小波和相位．）

  • 用于分析的小波可以有许多消失矩。小波与N消失矩与次多项式正交N1。使用具有许多消失矩的小波会导致较小的有效小波系数。压缩是改善。

  • 用于合成的双小波具有较好的规律性。重构后的信号更加平滑。

使用消失矩比合成滤波器少的分析滤波器会对压缩产生不利影响。示例请参见双正交小波图像重建．

当使用双正交小波时，能量在分析阶段是不守恒的。看到正交和双正交滤波器组额外的信息。

一般考虑

小波具有控制其行为的特性。根据您想要做的事情，有些属性可能更重要。

正交性

如果一个小波是正交的，小波变换保留能量。除了Haar小波，没有一个紧支撑正交小波是对称的。相关滤波器具有非线性相位。

消失的时刻

小波与N消失矩与次多项式正交N−1。示例请参见小波和消失矩．消失矩数与小波振荡有松散的关系。随着消失矩数的增加，小波振荡越大。

消失矩的数量也影响小波的支持度。Daubechies证明了一个小波N消失矩的支撑长度必须至少为2N1。

许多小波的名称是由消失矩的数目而来的。例如,db6是带6消失矩的Daubechies小波，和sym3是有三个消失时刻的Symlet。coiflet小波,coif3就是那个有六次消失的发髻。Fejer-Korovkin小波,fk8是具有长度为8的过滤器的Fejér-Korovkin小波。双正交小波名称由分析小波和综合小波各自的消失矩数推导而来。例如,bior3.5是合成小波中有三个消失矩，分析小波中有五个消失矩的双正交小波。要了解更多，请参见waveinfo而且wavemngr．

如果消失力矩的个数N等于1 2还是3dbN而且信谊N都是相同的。

规律

正则性与函数有多少连续导数有关。直观地说，规律性可以被认为是平滑度的衡量标准。为了检测数据中的突变，小波必须足够规则。对于一个小波N连续导数，小波至少要有N+ 1消失的时刻。看到检测不连续和击穿点了一个例子。如果您的数据相对平滑，很少有瞬态，那么更规则的小波可能更适合您的工作。

参考文献

[1] Daubechies,英格丽德。关于小波的十讲．工业与应用数学学会，1992。

[2]莫里斯，乔尔·M和拉文德拉·佩拉瓦利。“最小带宽离散小波”。信号处理76年,没有。2(1999年7月):181-93。https://doi.org/10.1016/s0165 - 1684(99) 00007 - 9。

[3] doroslovakovsky, M.L. <关于最小不对称小波>。IEEE信号处理汇刊46岁的没有。4(1998年4月):1125-30。https://doi.org/10.1109/78.668562。

[4]汉,本。“小波滤波器”。在框架和小波:算法、分析和应用, 92 - 98。应用与数值谐波分析。Cham，瑞士:Birkhäuser, 2017。https://doi.org/10.1007/978 - 3 - 319 - 68530 - 4 - _2。

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