识别具有独立过程和测量噪声描述的状态空间模型- MATLAB和Simulink

识别具有独立过程和测量噪声描述的状态空间模型

一般的模型结构

在给定的输入和噪声信号下，用识别的线性模型来模拟和预测系统输出。对输入信号进行测量，而噪声信号仅通过统计均值和方差可知。的一般形式的状态空间模型，通常与卡尔曼滤波相关，是这种模型的一个例子，定义为:

\begin{matrix} x （ t + 1 ） ＝ 一个 （ θ ） x （ t ） + B （ θ ） u （ t ） + w （ t ） \\ y （ t ） ＝ C （ θ ） x （ t ） + D （ θ ） u （ t ） + v （ t ） ， \end{matrix}

(1）

在那里,在时间t：

x（t)为模型状态向量。
u（t)为测量输入数据。
y（t)为实测输出数据。
w（t)为过程噪声。
v（t)为测量噪声。

噪声干扰是均值和协方差为零的独立随机变量:

$\begin{matrix} E ［ w （ t ） w^{⊺} （ t ）］＝ R_{1} （ θ ） \\ E ［ v （ t ） v^{⊺} （ t ）］＝ R_{2} （ θ ） \\ E ［ w （ t ） v^{⊺} （ t ）］＝ R_{12} （ θ ） \end{matrix}$

向量θ参数化模型，包括系统矩阵的系数和噪声协方差。然而，模型的所有元素并不一定都是免费的。如果您对系统的状态和噪声源有物理上的了解，那么该模型可以具有具有很少参数的向量的特定结构θ．

创新形式和一步领先预测

的给定值θ的最佳估计x（t),y（t)在有任何干扰时。所需的预测模型公式由卡尔曼滤波技术导出:

\begin{matrix} \overset{＾}{x} （ t + 1 ， θ ） ＝ 一个 （ θ ） x （ t ） + B （ θ ） u （ t ） + K （ θ ） ［ y （ t ） - C （ θ ） \overset{＾}{x} （ t ， θ ） - D （ θ ） u （ t ） ］ \\ \overset{＾}{y} （ t ， θ ） ＝ C （ θ ） \overset{＾}{x} （ t ） + D （ θ ） u （ t ） ， \end{matrix}

（2）

在哪里 $\overset{＾}{x} （ t ， θ ）$ 状态向量的预测值x（t)在时间瞬间的t, $\overset{＾}{y} （ t ， θ ）$ 是输出的预测值吗y（t)．的变量u（t),y（t)表示当时实测的投入和产出值t．的卡尔曼增益矩阵,K（θ)，由系统矩阵和噪声协方差导出如下:

$K （ θ ）＝［一个（ θ ） Γ （ θ ） C^{⊺} （ θ ） + R_{12} （ θ ）］ {［ C （ θ ） Γ （ θ ） C^{⊺} （ θ ） + R_{2} （ θ ）］}^{- 1} ，$

在哪里 $Γ （ θ ）$ 为状态估计误差的协方差:

$Γ （ θ ）＝ \bar{E} ［［ x （ t ） - \overset{＾}{x} （ t ， θ ）］ {［ x （ t ） - \overset{＾}{x} （ t ， θ ）］}^{⊺} ］．$

$Γ （ θ ）$ 是一个代数里卡提方程的解。有关更多信息，请参见敢(控制系统工具箱)而且[1]

表示输出预测误差为 $e （ t ）＝ y （ t ） - \overset{＾}{y} （ t ， θ ）$ ，你可以用更简单的形式来写一般的状态空间模型:

\begin{matrix} x （ t + 1 ， θ ） ＝ 一个 （ θ ） x （ t ） + B （ θ ） u （ t ） + K （ θ ） e （ t ） \\ y （ t ） ＝ C （ θ ） x （ t ） + D （ θ ） u （ t ） + e （ t ） ． \end{matrix}

（3）

这个更简单的表示是创新的形式的状态空间模型，并且只有一个唯一的扰动源，e（t)．这种形式对应于选择R₂＝我，R₁₂＝K,R₁＝乐^T为一般模型结构。系统识别工具箱™软件使用创新形式作为状态空间模型的主要表示形式。

模型的一般形式和创新形式都导致相同的预测模型如所示方程2．使用预测命令来计算预测模型响应，并生成这个预测系统。

模式识别

识别任务是使用输入和输出测量数据来确定参数化向量，θ．所采取的方法取决于有关系统和噪声干扰的可用先验信息的数量。

黑盒标识

当只有投入产出数据测量可用，并且您没有噪声结构的知识时，您只能估计创新形式的模型。为此，我们使用一步超前预测误差最小化方法(PEM)计算最佳输出预测器。对于这种方法，矩阵K独立于其他系统矩阵参数化，不考虑关于系统状态或输出协方差的先验信息进行估计。估计的模型可以用许多非惟一的方法还原到一般模型结构中，其中之一是假设R₂＝我，R₁₂＝K,R₁＝乐^T．创新形式是预测器的系统表示，其中e（t)不一定代表实际的测量噪声。

来估计创新表单中的状态空间模型n4sid，党卫军,ssregest命令。系统矩阵一个，B，C，D,K独立参数化，辨识使预测误差的加权范数最小，e（t)．有关更多信息，请参见使用ssest, ssregest和n4sid估计状态空间模型估计的例子党卫军．

请注意

在这种情况下，估计算法可以任意选择模型状态。因此，很难想象有物理意义的状态描述和影响状态的扰动来源。

结构鉴定

在某些情况下，除了输入输出数据外，你还知道一些关于状态和测量扰动的信息。为了使状态扰动的概念有意义，有必要对状态进行定义，例如在机械集中质量系统中的位置和速度。定义良好的状态和已知的噪声源导致了一个结构化状态空间模型，然后可以使用的一般模型结构对其进行参数化方程1．

为了识别这样的模型，使用灰盒建模方法，它允许您使用有关系统参数和噪声协方差的任何先验知识。例如，您可能只知道的第一个元素R₁非零，还是所有的非对角线项R₂为零。当使用灰盒建模时，为参数化向量提供初始猜测值，θ．如果模型状态在物理上是有意义的，那么应该能够确定参数的初始估价值θ．

估计具有参数化扰动的灰盒模型:

创建一个MATLAB^®函数，称为ODE文件，它:
- 计算参数化状态空间矩阵，一个，B，C,D，使用参数向量θ，它作为输入参数提供。
- 计算噪声协方差矩阵R₁，R₂,R₁₂．这些矩阵可以是完全或部分未知的。中的参数定义了任何未知矩阵元素θ．
- 使用系统矩阵一个而且C的噪声协方差卡尔曼(控制系统工具箱)命令来找到卡尔曼增益矩阵，K．
  [~ K] =卡尔曼(ss (A,眼睛(nx), C, 0 (ny, nx) Ts), R1, R2, R12);
  在这里,nx是模型状态的数量，纽约模型输出的数量，和Ts是采样时间。的卡尔曼命令需要控制系统工具箱™软件。
- 返回一个，B，C，D,K作为输出参数。
创建一个idgrey该模型使用ODE函数和参数向量的初始猜测值，θ．
方法配置任何评估选项greyestOptions命令。
估计θ使用感动的命令。