微分方程和线性代数,2.5:电网络:电压和电流
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
电流在RLC环路上流动求解一个带系数的线性方程l(电感),R(电阻),1 / C(C=电容)。
本视频是关于常微分方程在电流动中的一个关键应用,电流在网络中的流动。所以我画了一个网络,一个非常简单的网络。这就是所谓的RLC循环。它只有一个循环,所以它是一个非常简单的网络。
R代表对气流的阻力。L代表电感。C是。电容这是一个简单的线性常系数问题的三个元素与一个回路有关。然后有一个开关,我把它关上,血液就会开始流动。这里有一个电压源,就像电池一样,或者我们把它叫做交流电。
所以电压源是某个电压乘以e的i t次方,所以我们有交流电。问题是,电流是多少?我们要找到电流I,所以电流是I (t)绕环。
我们看到我们的微分方程有未知的I (t)而不是通常的y,我用I表示电流。再说一次,这是一个每个人都必须理解的RLC回路,就像在电气工程中一样。
我将得到一个二阶微分方程。你会看到这个方程是什么。你们应该记得欧姆定律。电压等于电流乘以电阻。这就得到了电阻上的电压。
如果电流是I,电阻是R,那么从这里到这里的电压降是I乘以R,这是这一项。但是现在电流也随着时间变化。这是交流电。它上下波动。
所以电流也通过电感。在这里,通过电感的电压降是这样的。把电流的导数引入其中。在累积电荷的电容中,电流的积分进入。
这就是描述电压定律的物理方程,它说的是绕着一个闭合的环路——这是闭合的,环路是闭合的——加上0。所以有四项,它们加起来是0。
我想解一个方程。我怎么解这个方程呢?根据标准的想法当我有常系数时,我有一个纯指数强迫项。我寻找一个解它是那个指数的倍数,对吧?
常系数微分方程的解,如果它们有指数强迫,那么解是I等于某个,应该说是W e的I t次方源的某个倍数给出了微分方程的解。
它实际上是一个微分积分方程。我可以通过对每一项求导使它看起来更熟悉。假设我这么做。
假设我对每一项求导,让它看起来更熟悉。就是L乘以I ' '对导数求导。这是RI '
积分的导数就是I本身。这里是1 / ci,这里是导数,I V e的I t次方。
这是一个标准的二阶常系数线性微分方程。事实上,如果你是一个机械工程师,你会说,我不知道L R和1 / C代表什么。但我知道我应该看到质量,阻尼和刚度。
所以我们在两个重要的工程领域之间有一个完全平行的关系,电气工程是L R和1 / C,机械工程是M B代表阻尼,K代表刚度。实际上,这种并行使得模拟计算机得以存在——模拟计算机在数字计算机之前出现,在竞争中落败。
一台模拟计算机通过施加电压和测量电流来解这个线性方程。所以一台模拟计算机通过建立模型和测量结果来解决这个方程。但我们并不是在创造一个模拟计算机。我们只是在做微分方程。
我来算一下W是多少。那我该怎么做呢?和往常一样,我有这个方程。我有一个纯粹的指数。我寻找相同形式的解。我把它插进去。我得到了W的方程。
这就是我要在下一块黑板上做的。我把W e ^ (I t)代入这个方程,求出W。也许我会把它剪下来一点,我在这里做,你们可以看到我做。
我有L乘以导数。所以我有L,导数是I L,所有的都要乘以W并匹配V,当我把它代入方程时,导数是I L W e的I t次方,它匹配V e的I t次方。
现在,当我把I代入第二项R时,会发生什么呢?我得到R乘以W乘以e的I t次方,没问题。
最后是1 / c,积分。指数的积分下来,我把它写在分母上,当我对e的I t次方积分时除以I,除以I。
就是这样。就是这样。这是三项,乘以未知的W。这就是寻找。当然,我们马上就能找到它。
我们发现W = V除以,现在我们看到的是I L + r,我把I合并起来。结合实部和虚部。实部是r虚部是I L - 1 / I C。
简单。它有一个名字。这就是抵抗。但是当有来自电感和电容的项时,整个东西就叫做阻抗。所以这整个东西,这整个分母,叫做复阻抗。
相信我,所有这些想法都非常重要。这里有很多词汇。但是你看,我们对其他常系数方程做了完全相同的事情。我们称系数为A B c或者M B K。
现在我们有了稍微不同的字母,但我们没有新的想法。这个想法是1除以,1除以阻抗,这就是传递函数,它乘以源得到复数W, W是复数。
我现在必须考虑一下。这个阻抗总是被称为z,所以我们现在有一个新的字母来表示重要的量它出现在分母上。同样,它的实部是阻力。虚部来自于L和C。
所以我们可以很容易地看到阻抗的大小是多少?电流的大小是多少?我们想知道这个数字的大小。V是电压的大小。这是阻抗的大小。
答案会给我们w的大小,我用大小或大小来表示当我只计算大小时,你不会看到相位滞后。复数,就像这个复数有一个大小我们要写下来。它还有相位滞后告诉我们虚数部有多少实数部有多少。
但其规模很简单。复数的模是多少?它是实部的平方和虚部的平方。哦,我想这应该是一个加号。我不知道它怎么变成减号的。
它会变成一个负号,所以我在想如果我把I放在上面。让我告诉你我在说什么。虚部是L - 1 / c,我的意思是,如果我把I放在上面,那么1 / I就是- I,这是我刚才做的很好的一步。
所有的平方。你能接受吗?它是实部的平方,也就是电阻。这个组合给出了虚部。我们广场。这可能叫做反应物。这些平方和就是阻抗的平方,大小。
所以我们基本上已经成功地解出了一个二阶常系数单方程。现在该怎么办?我再加一点。也许只是一个评论。
那个视频只有一个循环。当我告诉Mohler博士其中一个应用,这个系列视频中真正的应用之一是RLC电路,他的回答是RLC电路不是一个应用,不是一个现实的应用。一个循环。
那么我们如何处理一个有许多节点,许多电阻,许多导体,许多边的完整电路呢?我们要做一个重大决定。这就是我想说的。
他们有一个选择。他们可以在节点上使用基尔霍夫电流定律并解出这些节点上的电压。或者他们可以像我们对一个回路做的那样,在那个回路上使用基尔霍夫电压定律,也就是回路中的电流给出的总电压降为0。
我们解当前方程求未知的i,这是我们对一个循环所做的。我的信息只是为一个大系统,这是赢家。根据基尔霍夫电流定律写出方程,我们得到了节点图,每个节点都有方程的图而不是每个循环都有方程的图。
因为不容易看出哪些循环是需要考虑的哪些循环是其他循环的组合。线性代数是一个问题。而线性代数要得到独立清晰的环路图比节点图要困难得多。
有未知电压的节点图,V在节点上,是好的。这个矩阵就是关联矩阵。它连接节点和边。它说明了网络是如何组成的。
这个矩阵,我会用一点线性代数来研究。这将在后面的视频中讲到。如果你寻找关联矩阵,你可能会看到两个关于那些非常非常重要和美丽的矩阵的视频。谢谢你!
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