好的。这是世界上求解微分方程最快的方法。你会喜欢这种方法的。首先我们要看看我们能解出什么方程。线性的,常系数。我让所有的系数都是1,但是把它们换成A B c没有问题,所以左边很漂亮。
在右边,我们也需要一些好的东西。我们想要一个很好的函数。我会告诉你哪些是好的函数。所以我可以说e的指数次方当然是很好的函数。它们一直是这门课的中心。
例如,等于e ^ st,这是一个很好的函数。好的。关键是,我们在寻找特解,因为我们知道如何寻找零解。我们在寻找这个方程的特解。一个函数,某个函数解这个方程右边是e ^ st。
关键是,我们知道要找什么。我们只需要找到一些系数。我们可以通过代入方程来求。现在,你们还记得当右边是e ^ st时我们要找什么吗?然后求y等于某个常数乘以e ^ st,对吧?
当f (t)我应该把等号写在下面。如果f (t) = e ^ st,我只需要找它的倍数。这是一个可以通过代入方程来确定的系数。你还记得结果吗?这是我们最好的例子。
当我把它代入方程时,导数会带来一个s,二阶导数会带来另一个s,所以我得到s²s和1乘以y e ^ st等于e ^ st,我们之前做过这个。这里我们看到的是系数y不定的情况,但代入后,我发现y等于1除以它。
这是一个很好的函数。E ^ st是一个很好的函数。还有什么好函数呢?现在,让我移到另一块黑板,下一块黑板,问一下,我们还可以解右边的什么?所以我让左边等于。e ^ st = 1。
t呢?t呢?一个多项式。它只有一项。那么这个方程的特解是什么?所以我必须说,试一下y的具体值是什么,现在,如果我看到一个t,那么我要在y中寻找t,我也要寻找一个常数。所以a + bt是正确的形式。
我来给你们演示一下。现在有两个待定系数。我们通过把它代入方程并使其正确来确定它们。试一下yp = a + bt。a + bt的二阶导是0。它的一阶导数是b,因此得到b。y本身是a + bt,这应该是t。
你看,我插上了电源。我得到了这个方程。现在我可以通过匹配t来确定a和b,那么b必须是1。得到b = 1。所以t等于t,但如果b等于1,我需要a到b - 1来消掉。a等于- 1。我的答案是- 1 + 1t。T - 1。
如果我把它代入方程,它是正确的。我找到了一个特解,这就是我的目标,因为我知道如何找到零解。然后一起,这就是完整的解。我们已经学过多项式的处理方法了。对于t的次幂,我们要包括这个次幂和所有更低的次幂,一直到常数。好的。
对于指数,我们只需要包含指数。下一个什么?sin t和cos t呢?比如sint,这种情况成立。现在我们想试试y ' ' + y ' + y = sint。我们假设它的形式是什么?
好吧,我可以很快告诉你。我们假设里面有sint。我们还需要假设cos t,规则是我们尝试的东西,我试一下y y是我们一直在寻找的。一个是c1 cos t,一个是c2 sin t,这样就可以了。
实际上,如果我把它代入,然后把两边匹配,我就确定了c1和c2,我就成功了。让我来评论一下,而不是把每一步都讲出来。同样,步骤就是代入这个式子通过选择合适的c和c来修正方程。
我注意到,你们还记得欧拉公式余弦是e ^ (it)和e ^ (- it)的组合。某种程度上,我们用的是原来的例子。我们用这个例子,e ^ st,带两个s, e ^ it,和e ^ - it。cos中有两个指数。所以我并不惊讶有两个常数要找。
现在,最后,我必须说,这是好的函数的终结吗?好的函数包括指数,多项式。这些是指数,复指数。不,还有一种可能性我们可以用这种简单的方法处理。
这种可能性是一种乘积,现在我要告诉你们如果它是t乘以sin t该怎么做,假设我们有右边的f (t)强制项,是t乘以sin t,假设是什么形式?你只需要知道假设的形式是什么?好的。
现在,这个t,我们有一个乘积,一个多项式乘以sin或cos或指数。我可以在这里写te ^ st。但是当t出现在这里时我要做什么呢?然后我要对t做更多的尝试。现在我有一个多项式乘以sin cos或指数的乘积。
我试的是at + (a + bt)我试的是乘积。乘以cos t (c + dt)乘以sint,这是最糟糕的情况了。但还是很愉快的。我看到了什么?
因为这里有个t,我需要假设多项式到相同程度的1。a + bt,必须这样做,就像上面有t时做的那样,但是现在它乘以sin t,所以我必须允许sin t和cos t。
模式是,我们已经完成了一系列好的函数。指数,多项式,多项式乘以指数。这是一个很好的函数。多项式乘以指数。或者我们可以有这些项的和。我们可以用2到3个多项式乘以指数,就像这里还有一个。这仍然是一个很好的函数。
好的函数的真正关键是什么?关键是,为什么这是一堆这么好的函数?因为,如果对它求导,得到的是相同形式的函数。如果对右边求导,用乘法定则,就得到这个乘以那个的导数。这里有一个sin。得到这个乘以它的导数,也就是a b。
同样,它符合相同的形式,多项式乘以cos,多项式乘以sin。这里我有一个实际上有四个系数的例子。但当你把它代入方程时,它们都掉了。你只需要匹配条件和你的黄金。这是一个很简单的方法。简单。
好的函数的关键是,它们对拉普拉斯变换很好,它们在每一步都很好。但这些都是我们发现的最好的例子。关于好函数的关键是。这是好函数的一种形式因为它的导数有相同的形式。这个函数的导数再次符合这个模式。二阶导符合。所有的导数都符合。所以当我们把它们代入方程时,一切都成立。
通常在讲座的最后一分钟,有一个特例。有一个特例。让我们记住这是什么。当我们需要改变形式时,这是一个特例。我们为什么要这么做?
y ' ' - y是e ^ t,这有什么特别的吗?特别的是,右边这个f函数,解了这个方程。如果我尝试e ^ t,它会失败。试试y =某个y e ^ t,你知道这是怎么失败的吗?
如果我把它代入方程,二阶导会消掉y左边就会变成0。失败,因为这就是所谓的共振。这是共振的一种情况,当右边的形式同时是零解。它不可能是特解。它不成立,因为它也是一个零解。
你还记得如何摆脱共振吗?如何处理共振?共振发生了什么?解稍微复杂一点,但它符合这里的所有条件。我们必须假设允许t,我们必须允许t。
所以不是这个倍数,这个和在这里,我们必须允许——我要假设——我需要在这里有一个t。哦,不。事实上,我不知道。我只需要一个t,就可以了。
当有共振时,用你通常假设的形式乘以那个额外的因子t,然后,当我把它代入微分方程时,我就会很安全地找到Y。我会安全地找到Y的。所以我这么做了。这就是共振的情况,当e ^ t解决这个问题时的特殊情况。
所以我们需要一些新的东西。我们得到正确的新式子的方法是在这里加入一个t。当我把它代入时,我对它求导,减去它本身,匹配e ^ t,就会得到Y。
可能是1/2或1。我不会这么做的。也许我会把它留作练习。代入方程,求出y的值。让我把它拉起来。我们有一些很好的函数,我们会再看一遍,因为它们很好。每种方法都适用于这些函数。
这些函数是指数,多项式,或者多项式乘以指数。在指数函数中,我包括正弦和余弦。对于这些函数,我们知道它的形式。我们把它代入方程。我们让它匹配。我们选择这些待定系数。我们确定它们,让它们解出方程。然后我们得到一个特解。
这是求特解的最佳方程。只要知道正确的形式并找到常数,它就能从特定的方程中出来。好的。都很好,谢谢。
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