中心脉冲的CWT

要开始理解影响锥，请创建一个长度为1024个样本的居中脉冲信号。使用创建一个CWT滤波器组cwtfilterbank使用默认值。使用wt返回脉冲的CWT系数和频率。为了更好地可视化，将CWT系数归一化，使每个频率(每个标度)的最大绝对值等于1。

X = 0 (1024,1);X (512) = 1;Fb = cwtfilterbank;[cfs,f] = wt(fb,x);CFS = CFS ./max(CFS，[]，2);

使用helper函数helperPlotScalogram到标量图。的代码helperPlotFunction在这个例子的最后。用一条线标出脉冲的位置。

ax = helperplotscalalogram (f,cfs);Hl = line(ax，[512 512]，[min(f) max(f)]，…(max (abs (cfs(:)))马克斯(abs (cfs (:)))));标题(“中心脉冲的标量图”）

黑色实线表示脉冲在时间上的位置。请注意，随着频率的降低，时间内非零且以脉冲为中心的CWT系数的宽度会增加。相反，随着频率的增加，非零的CWT系数的宽度减小，并越来越以脉冲为中心。低频对应长尺度的小波，高频对应短尺度的小波。小波越长，脉冲的作用持续时间越长。换句话说，小波越长，信号的影响持续时间就越长。对于以某个时间点为中心的小波，拉伸或收缩小波会导致小波“看到”更多或更少的信号。这被称为小波影响范围．

边界效应

上一节说明了位于观测中心(或数据间隔)的脉冲的影响锥。但是当小波位于数据的开头或结尾附近时会发生什么呢?在小波变换中，我们不仅对小波进行了扩张，而且对小波进行了及时的平移。接近数据开头或结尾的小波不可避免地“看到”观察区间之外的数据。各种技术被用来补偿的事实，小波系数附近的开始和结束的数据是由小波延伸到边界外的影响。的cwtfilterbank而且类函数提供了通过对称反射信号或周期性扩展信号来处理边界的选项。然而，无论使用哪种技术，在解释边界附近的小波系数时都应该谨慎，因为小波系数受到信号范围之外的值的影响。此外，小波系数受观测区间外数据影响的程度取决于尺度(频率)。范围越长，影响范围越大。

重复脉冲的例子，但是放置两个脉冲，一个在数据的开头，一个在数据的结尾。也要返回影响锥。为了更好地可视化，将CWT系数归一化，使每个频率(每个标度)的最大绝对值等于1。

Dirac = 0 (1024,1);狄拉克([1 1024])= 1;[cfs,f,coi] = wt(fb,dirac);CFS = CFS ./max(CFS，[]，2);helperPlotScalogram (f, cfs)标题(双脉冲信号的标量图）

这里可以清楚地看到，观测区间的极端边界的影响锥扩展到区间的程度取决于小波的尺度。因此，在观察区间内的小波系数会受到小波在信号边界处看到的数据的影响，如果以某种方式扩展信号，甚至会在信号的实际边界之前受到影响。

在前面的图中，您应该已经看到返回的影响锥之间的惊人相似性cwtfilterbank或者由类函数和双脉冲信号的标量系数非零的区域。

虽然理解这些小波系数解释的边界效应很重要，但在数学上没有精确的规则来确定每个尺度上影响锥的程度。诺巴赫等人。[２]将每个尺度上的影响锥的范围定义为小波变换幅度衰减到其峰值的2%的点。由于许多连续小波分析中使用的小波在时间上呈指数衰减，托伦斯和康波[3]使用时间常数 $$1/e$$在每个尺度上划定影响锥的边界。对于莫尔斯小波，莉莉[1]使用“小波足迹”的概念，这是一个包含小波能量约95%的时间间隔。Lilly通过将1/2的小波足迹添加到观察区间的开始，并在每个尺度上从区间的结束减去1/2的足迹来描绘COI。

的cwtfilterbank而且类函数使用的近似 $$1/e$$描述COI的规则。这种近似包括在观测区间的开始时，在每个标度上增加一个时域标准差，并从区间的结束处减去每个标度上的一个时域标准差。在我们演示这种对应关系之前，将计算出的COI添加到前面的图中。

helperPlotScalogram (f, cfs, coi)标题(“带影响锥的尺度图”）

你可以看到，计算出来的COI很好地近似于信号开始和结束时脉冲的显著影响的边界。

为了展示如何cwtfilterbank而且类考虑两个例子，一个是解析Morlet小波，一个是默认Morse小波。从解析Morlet小波开始，其中我们的一个时域标准偏差规则与Torrence和Compo使用的折叠时间的表达式完全一致[3]．

Fb = cwtfilterbank(“小波”，“爱”）;[~，f,coi] = wt(fb,dirac);

托伦斯和康波的COI表达式为 $$\sqrt{2}\mathrm{年代}$$在哪里 $$\mathrm{年代}$$是刻度。对于解析Morlet小波cwtfilterbank而且类，它由:

Cf = 6/(2*pi);Predtimes =√(2)*cf./f;

绘制返回的COIcwtfilterbank与托伦斯和康波中使用的表达一样。

情节(coi 1:1024,“k——”，“线宽”, 2)在网格在情节(predtimes, f,的r *)情节(1024 - predtimes f的r *甘氨胆酸)组(,“yscale”，“日志”)轴紧传奇(“COI”，“预测COI”，“位置”，“最佳”)包含(“样本”) ylabel (“赫兹”)标题(“影响锥-解析Morlet小波”）

最后一个例子显示了缺省莫尔斯小波的相同对应关系cwtfilterbank而且类．默认莫尔斯小波的时域标准差为5.5008，峰值频率为0.2995个周期/样本。利用小波带通滤波器的中心频率和时域标准差规则得到预测的COI，并与返回值进行比较cwtfilterbank．

Fb = cwtfilterbank;[~，f,coi] = wt(fb,dirac);Sd = 5.5008;Cf = 0.2995;Predtimes = cf./f*sd;图绘制(coi 1:1024,“k——”，“线宽”, 2)在网格在情节(predtimes, f,的r *)情节(1024 - predtimes f的r *甘氨胆酸)组(,“yscale”，“日志”)轴紧传奇(“COI”，“预测COI”，“位置”，“最佳”)包含(“样本”) ylabel (“赫兹”)标题(“影响锥-默认莫尔斯小波”）

附录

本例中使用了以下helper函数。

helperPlotScalogram

函数varargout = helperplotscalalogram (f,cfs,coi) nargoutchk(0,1);Ax = newplot;冲浪(ax, 1:1024, f, abs (cfs),“EdgeColor”，“没有”斧头。YScale =“日志”；Caxis([0.01])色条网格在斧子。YLim = [min(f) max(f)];斧子。XLim = [1 size(cfs,2)];视图(0,90)包含(“时间”) ylabel (“周期/样本”）如果Nargin == 3 hl = line(ax,1:10 10,coi,ones(1024,1));霍奇金淋巴瘤。颜色=“k”；霍奇金淋巴瘤。LineWidth = 2;结束如果> 0 varargout{1} = ax;结束结束