polyfit

多项式曲线拟合

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语法

p = polyfit (x, y, n)

[p, S] = polyfit (x, y, n)

(p, S,μ)= polyfit (x, y, n)

描述

例子

p= polyfit (x，y，n）返回多项式的系数p (x)的程度n这是对数据的最佳拟合(在最小二乘意义上)y．的系数p都是递减幂，而长度呢p是n + 1

$p （ x ）＝ p_{1} x^{n} + p_{2} x^{n - 1} + .．. + p_{n} x + p_{n + 1} ．$

［p，年代) = polyfit (x，y，n）也返回一个结构年代这可以作为输入polyval得到误差估计。

例子

［p，年代，μ) = polyfit (x，y，n）执行定心和缩放，以改善多项式和拟合算法的数值性质。此语法还返回μ，它是一个具有定心和缩放值的双元素向量。μ(1)是意思是(x),μ(2)是性病(x)．使用这些值,polyfit中心x在0处缩放到单位标准差，

$\overset{＾}{x} ＝ \frac{x - \bar{x}}{σ_{x}} ．$

例子

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拟合多项式与三角函数

打开生活的脚本

在区间内沿正弦曲线等距生成10个点[0, 4 *π)．

x = linspace(0, 4 *π,10);y = sin (x);

使用polyfit用7次多项式来拟合这些点。

p = polyfit (x, y, 7);

在一个更细的网格上计算多项式并绘制结果。

x1 = linspace(0, 4 *π);日元= polyval (p, x1);图绘制(x, y,“o”)举行在情节(x1, y1)从

图中包含一个axes对象。坐标轴对象包含两个line类型的对象。

拟合多项式到点集

打开生活的脚本

在区间内创建一个由5个等间隔点组成的向量[0, 1],并评估 $y （ x ）＝（ 1 + x ）^{- 1}$ 在这些点。

x = linspace (0, 1, 5);y = 1. / (1 + x);

拟合5个点的4次多项式。一般来说,对n点，你可以拟合一个多项式的次数n - 1精确地穿过这些点。

p = polyfit (x, y, 4);

评估原始函数和多项式拟合在0到2点之间的更精细网格上。

x1 = linspace (0, 2);日元= 1. / (1 + x1);f1 = polyval (p, x1);

在较宽的区间内绘制函数值和多项式拟合图(0, 2)，用于获得多项式拟合的点以圆圈突出显示。多项式拟合较好[0, 1]区间，但很快就偏离了该区间以外的拟合函数。

图绘制(x, y,“o”)举行在情节(x1, y1)情节(x1, f1,“r——”)传说(“y”，“日元”，“f1”）

图中包含一个axes对象。坐标轴对象包含3个line类型的对象。这些对象表示y y1 f1。

拟合多项式与误差函数

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首先生成一个向量x点，间隔相等[0, 2.5]，然后评估小块土地(x)在这些点。

x =(0:0.1:2.5)”;y =小块土地(x);

求6次近似多项式的系数。

p = polyfit (x, y, 6)

p =1×70.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004

要查看拟合有多好，可以在数据点处计算多项式，并生成一个显示数据、拟合和误差的表。

f = polyval (p (x);T =表(x, y, f, yf,“VariableNames”，{“X”，“Y”，“健康”，“FitError”})

T =26日×4表X Y Fit FitError __________ __________ ___________ 00 0.00044117 -0.00044117 0.1 0.11246 0.11185 0.00060836 0.2 0.2227 0.22231 0.00039189 0.3 0.32839 0.2231 0.22231 0.00039189 -9.7429e-05 0.4 0.42839 0.4288 -0.00040661 0.5 0.5205 0.52093 -0.00042568 0.6 0.60386 0.60408 -0.00022824 0.7 0.6778 0.67775 4.6383e-05 0.8 0.7421 0.74183 0.00026992 0.9 0.79691 0.79654 0.00036515 1 0.8427 0.84238 0.0003164 1.1 0.88021 0.88005 0.00015948 1.2 0.91031 0.91035 -3.9919e-05 1.3 0.95229 0.95258-0.00029933 1.5 0.96611 0.96639 -0.00028097

在这个区间内，插值值与实际值相当接近。创建一个图来显示在这个区间之外，外推值如何迅速偏离实际数据。

x1 = (0:0.1:5) ';日元=小块土地(x1);f1 = polyval (p, x1);图绘制(x, y,“o”)举行在情节(x1, y1,“- - -”)情节(x1, f1,“r——”)轴([0 5 0 2])保持从

图中包含一个axes对象。坐标轴对象包含3个line类型的对象。

使用定心和缩放来改善数值特性

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创建一个1750 - 2000年的人口数据表，并绘制数据点。

年= (1750:25:2000)';Pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';T =表(年份，年份)

T =11×2表年流行____ _________ 1750 7.91e+08 1775 8.56e+08 1800 9.78e+08 1825 1.05e+09 1850 1.262e+09 1875 1.544e+09 1900 1.65e+09 1925 2.532e+09 1950 6.122e+09 1975 8.17e+09 2000 1.156e+10

情节(年,流行,“o”）

图中包含一个axes对象。axis对象包含一个类型为line的对象。

使用polyfit用三个输出拟合五次多项式，采用定心和缩放，改善了问题的数值性质。polyfit将数据集中在一年并将其缩放为1的标准差，这避免了在拟合计算中出现病态范德蒙德矩阵。

(p ~μ)= polyfit (T。年T.pop 5);

使用polyval有四个输入进行评估p随着年数的增加，(year-mu(1)) /μ(2)．将结果与原始年份进行对比。

f = polyval (p,年,[],μ);持有在情节(一年,f)从

图中包含一个axes对象。坐标轴对象包含两个line类型的对象。

简单线性回归

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对一组离散的二维数据点拟合一个简单的线性回归模型。

创建一些样本数据点的向量(x, y)．对数据拟合一阶多项式。

x = 1:50;Y = -0.3*x + 2*randn(1,50);p = polyfit (x, y, 1);

对拟合多项式求值p在x．用数据绘制得到的线性回归模型。

f = polyval (p (x);情节(x, y,“o”f, x,,“- - -”)传说(“数据”，“线性适应”）

图中包含一个axes对象。坐标轴对象包含两个line类型的对象。这些对象代表数据，线性拟合。

带有误差估计的线性回归

打开生活的脚本

拟合一组数据点的线性模型并绘制结果图，包括对95%预测区间的估计。

创建一些样本数据点的向量(x, y)．使用polyfit用一阶多项式拟合数据。指定两个输出来返回线性拟合的系数以及误差估计结构。

x = 1:10 0;Y = -0.3*x + 2*randn(1100);[p, S] = polyfit (x, y, 1);

评价一阶多项式拟合p在x．将误差估计结构指定为第三个输入，以便polyval计算标准误差的估计值。返回标准误差估计δ．

[y_fitδ]= polyval (p, x, S);

绘制原始数据、线性拟合和95%预测区间 $y \pm 2 Δ$ ．

情节(x, y,“波”)举行在情节(x, y_fit,的r -)情节(x, y_fit + 2 *δ,“m——”, x, y_fit-2 *δ,“m——”)标题(“95%预测区间的数据线性拟合”)传说(“数据”，“线性适应”，“95%的预测区间”）

图中包含一个axes对象。标题为Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval的axis对象包含4个类型为line的对象。这些对象表示数据，线性拟合，95%预测区间。

输入参数

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`x`- - - - - -查询点
向量

查询点，指定为向量。的点x中的拟合函数值对应y．如果x不是向量吗polyfit将其转换为列向量x (:)．

当产生警告消息时x是否重复了(或几乎重复了)点x可能需要定心和缩放。

数据类型:单|双
复数的支持:是的

`y`- - - - - -查询点上的拟合值
向量

查询点的拟合值，指定为向量。中的值y中包含的查询点对应x．如果y不是向量吗polyfit将其转换为列向量y (:)．

数据类型:单|双
复数的支持:是的

`n`- - - - - -多项式拟合度
正整数标量

多项式拟合度，指定为正整数标量。n中最左边系数的多项式幂p．

输出参数

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`p`-最小二乘拟合多项式系数
向量

最小二乘拟合多项式系数，作为向量返回。p长度n + 1并包含多项式系数的降次幂，其最高幂为n．如果任何一x或y包含南价值观和n <长度(x)，然后所有的元素p是南．如果指定三个输出参数来集中和缩放数据，则polyfit返回不同的系数p与数据没有居中和缩放时相比。

使用polyval评估p在查询点。

`年代`-误差估计结构
结构

误差估计结构。类的输入polyval函数获取误差估计。年代包含以下字段:

场	描述
`R`	三角`R`的Vandermonde矩阵的QR分解(可能是排列的)`x`
`df`	自由度
`normr`	残差的Norm

如果数据在y是随机的，那么协方差矩阵的估计p是(Rinv * Rinv”)* normr ^ 2 / df,在那里Rinv是的倒数R．

如果错误的数据在y在恒定方差下是独立的和正态的(y),δ)= polyval(…)产生包含至少50%预测的错误边界。也就是说,y±δ包含至少50%对未来观测结果的预测x．

`μ`-定心和缩放值
双元素向量

定心和缩放值，作为双元素向量返回。μ(1)是意思是(x),μ(2)是性病(x)．这些值将查询点集中在中间x在单位标准差为零时。

使用μ作为第四个输入polyval评估p在标度点处，(x - mu(1)) /μ(2)．

限制

在多点问题中，增加多项式拟合的程度polyfit并不总能带来更好的效果。高阶多项式可以在数据点之间振荡，导致一个贫穷符合数据。在这些情况下，您可能会使用低阶多项式拟合(这往往在点之间更平滑)或不同的技术，这取决于问题。
多项式本质上是无界振荡函数。因此，它们不太适合外推有界数据或单调(增加或减少)数据。

算法

polyfit使用x形成范德蒙德矩阵V与n + 1列和m =长度(x)行，得到线性系统

$（ \begin{matrix} x_{1}^{n} & x_{1}^{n - 1} & \dots & 1 \\ x_{2}^{n} & x_{2}^{n - 1} & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{米}^{n} & x_{米}^{n - 1} & \dots & 1 \end{matrix} ）（ \begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ ⋮ \\ p_{n + 1} \end{matrix} ）＝（ \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{米} \end{matrix} ），$

哪一个polyfit解决与p = V \ y．因为范德蒙德矩阵中的列是向量的幂x的条件号V对于高阶拟合通常较大，导致奇异系数矩阵。在这种情况下，定心和缩放可以改善系统的数值特性，产生更可靠的拟合。

扩展功能

高大的数组
使用行数超过内存容量的数组进行计算。

使用注意事项和限制:

X而且Y一定是列向量。

有关更多信息，请参见高大的数组．

C / c++代码生成
使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

使用注意事项和限制:

看到工具箱函数代码生成的变量大小限制(MATLAB编码器)．

线程环境
在后台使用MATLAB®运行代码`backgroundPool`或使用并行计算工具箱™加速代码`ThreadPool`．

这个函数完全支持基于线程的环境。有关更多信息，请参见在线程环境中运行MATLAB函数．

GPU数组
通过使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行来加速代码。

该功能完全支持GPU阵列。有关更多信息，请参见在图形处理器上运行MATLAB函数(并行计算工具箱)．

分布式阵列
使用并行计算工具箱™跨集群的组合内存分区大型数组。

这个函数完全支持分布式数组。有关更多信息，请参见运行MATLAB函数与分布式数组(并行计算工具箱)．

版本历史

之前介绍过的R2006a

另请参阅

浸|lscov|聚|polyint|polyder|polyval|根

主题

编程拟合

polyfit

语法

描述

例子

拟合多项式与三角函数

拟合多项式到点集

拟合多项式与误差函数

使用定心和缩放来改善数值特性

简单线性回归

带有误差估计的线性回归

输入参数

x- - - - - -查询点向量

y- - - - - -查询点上的拟合值向量

n- - - - - -多项式拟合度正整数标量

输出参数

p-最小二乘拟合多项式系数向量

年代-误差估计结构结构

μ-定心和缩放值双元素向量

限制

算法

扩展功能

高大的数组使用行数超过内存容量的数组进行计算。

C / c++代码生成使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

线程环境在后台使用MATLAB®运行代码backgroundPool或使用并行计算工具箱™加速代码ThreadPool．

GPU数组通过使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行来加速代码。

分布式阵列使用并行计算工具箱™跨集群的组合内存分区大型数组。

版本历史

另请参阅

主题

`x`- - - - - -查询点
向量

`y`- - - - - -查询点上的拟合值
向量

`n`- - - - - -多项式拟合度
正整数标量

`p`-最小二乘拟合多项式系数
向量

`年代`-误差估计结构
结构

`μ`-定心和缩放值
双元素向量

高大的数组
使用行数超过内存容量的数组进行计算。

C / c++代码生成
使用MATLAB®Coder™生成C和c++代码。

线程环境
在后台使用MATLAB®运行代码`backgroundPool`或使用并行计算工具箱™加速代码`ThreadPool`．

GPU数组
通过使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行来加速代码。

分布式阵列
使用并行计算工具箱™跨集群的组合内存分区大型数组。