约束的最小化问题

对于这个问题，最小化的目标函数是一个简单的二维变量函数X而且Y：

camxy = @(X,Y)(4 - 2.1.*X。^ 2 + X ^ 4. / 3)。* X。²+ x .* y + (-4 + 4.* y .^2).* y .^2;

正如L.C.W. Dixon和G.P. Szego所描述的那样，这个功能被称为“凸轮”[1]．

此外，该问题具有非线性约束和边界。

X (1)* X (2) + X (1) - X(2) + 1.5 <= 0(非线性约束)10 - X (1)* X(2) <= 0(非线性约束)0 <= X(1) <= 1(约束)0 <= X(2) <= 13(约束)

在目标函数的曲面上画出非线性约束区域。约束条件将解限制在两条红色曲线上方的小区域。

x1 = linspace (0,1);Y1 = (-x1 - 1.5)/ (x1 - 1);y2 = 10. / x1;(X, Y) = meshgrid (x1, linspace (0, 13));Z = camxy (X, Y);冲浪(X, Y, Z,“线型”，“没有”)举行在z1 = camxy (x1, y1);z2 = camxy (x1, y2);plot3 (x1, y1, z1,的r -, x1, y2、z2的r -) xlim([0 1]) ylim([0 13]) zlim([0,max(Z，[])，“所有”)))举行从

创建优化变量、问题和约束

要建立这个问题，创建优化变量x而且y．在创建变量时设置边界。

x = optimvar (“x”，“下界”0,“UpperBound”1);y = optimvar (“y”，“下界”0,“UpperBound”13);

将目标创建为优化表达式。

凸轮= camxy (x, y);

用这个目标函数创建一个优化问题。

概率= optimproblem (“客观”、凸轮);

创建两个非线性不等式约束，并将它们包含到问题中。

prob.Constraints。con1 = x*y + x - y + 1.5 <= 0;prob.Constraints。cons2= 10 - x*y <= 0;

回顾这个问题。

显示(概率)

OptimizationProblem:解:x, y最小化:(((((4 - (2.1 . * x ^ 2)) + (x ^ 4。/ 3))* x ^ 2) + (x, y)) +(((4) +(4。* y ^ 2)) * y ^ 2))受cons1: ((((x。* y) + x) - y) + 1.5) < = 0 cons2主题:(10 - (x, y)) < = 0变量范围:0 < = x < = 1 0 < = y < = 13

设置初始点并求解

将初始点设置为带字段的结构x等于0．5而且y等于0．5．

x0。x= 0.5; x0.y = 0.5;

解决指定的问题patternsearch解算器。

[溶胶,fval] =解决(x0,概率“规划求解”，“patternsearch”）

使用模式搜索解决问题。优化终止:网格尺寸小于选项。MeshTolerance和约束违例小于options. constraintolerance。

索尔=结构体字段:X: 0.8122 y: 12.3122

fval = 9.1324 e + 04

patternsearch找到解点x = 0.8122，y = 12.3122目标函数值e4 9.1324．

添加可视化

要观察求解器的进度，请指定选择两个绘图函数的选项。绘制函数psplotbestf绘制每次迭代的最佳目标函数值，绘制函数psplotmaxconstr绘制每个迭代中最大的约束违反。在单元格数组中设置这两个绘图函数。方法在命令窗口中显示有关求解器进度的信息显示选项“通路”．

选择= optimoptions (@patternsearch,.．.“PlotFcn”{@psplotbestf, @psplotmaxconstr},.．.“显示”，“通路”）;

运行求解器，包括选项论点。

[溶胶,fval] =解决(x0,概率“规划求解”，“patternsearch”，“选项”选项)

使用模式搜索解决问题。最大Iter函数计数f(x)约束网格尺寸方法01 0.373958 9.75 0.9086 1 18 113581 1.617e-10 0.001增加惩罚2 147 92267 0 1e-05增加惩罚3 373 91333.2 0 1e-07增加惩罚4 638 91324 0 1e-09增加惩罚优化终止:网格尺寸小于选项。MeshTolerance和约束违例小于options. constraintolerance。

索尔=结构体字段:X: 0.8122 y: 12.3122

fval = 9.1324 e + 04

非线性约束的原因patternsearch在每次迭代中解决许多子问题。如图和迭代显示所示，求解过程很少迭代。然而,Func-count迭代显示中的列显示每次迭代的许多函数计算。结果表明，初始点不可行，目标函数在初始点处较低。在求解过程中，目标函数值先增大，然后减小到最终值。

不支持的功能

如果你的目标或非线性约束函数不是优化变量和表达式的支持操作,使用fcn2optimexpr将它们转换为适合基于问题的方法的形式。例如，假设不是约束条件 $$xy\ge 10$$你有约束条件 $${我}_1（x）+{我}_1（y）\ge 10$$,在那里 $${我}_1（x）$$是修正的贝塞尔函数besseli (x)．(不支持贝塞尔函数。)使用以下命令创建此约束fcn2optimexpr如下。首先创建一个优化表达式 $${我}_1（x）+{我}_1（y）$$．

Bfun = fcn2optimexpr(@(t,u)besseli(1,t) + besseli(1,u)，x,y);

接下来，替换约束cons2与约束bfun > = 10．

prob.Constraints。cons2= bfun >= 10;

解决这个问题。由于约束区域不同，解也不同。

[sol2, fval2] =解决(x0,概率“规划求解”，“patternsearch”，“选项”选项)

使用模式搜索解决问题。最大Iter函数计数f(x)约束网格尺寸方法01 0.373958 9.484 0.9307 1 18 113581 1.659e-08 0.001增加惩罚2 183 962.841 0 1e-05增加惩罚3 499 960.942 0 1e-07增加惩罚4 636 960.94 0 8.511e-15更新乘法器优化终止:网格尺寸小于选项。MeshTolerance和约束违例小于options. constraintolerance。

sol2 =结构体字段:X: 0.4998 y: 3.9981

fval2 = 960.9401

参考文献

狄克逊，l.c.w.， G . p。Szego (eds)。向着全球优化2。荷兰北部:爱思唯尔科学有限公司，阿姆斯特丹，1978。