投资组合优化理论- MATLAB & Simulink - 卡塔尔世界杯8强比赛直播

投资组合优化理论

投资组合优化问题

投资组合优化问题涉及到确定满足三个标准的投资组合:

最小化风险代理。
匹配或超过返回的代理。
满足基本可行性要求。

投资组合是构成资产宇宙的可行资产集合中的点。投资组合指定了资产组合中每一项资产的持有量或权重。惯例是根据权重来指定投资组合，尽管投资组合优化工具也适用于持股。

可行投资组合的集合必然是非空的、封闭的、有界的集合。风险的代理是一个函数，描述了与投资组合选择相关的可变性或损失。回报的代表是一个函数，它表征了与投资组合选择相关的总收益或净收益。术语“风险”和“风险代理”以及“回报”和“回报代理”是可以互换的。马科维茨的基本见解<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)，即投资组合选择问题的目标是在给定的收益水平下寻求最小的风险，并在给定的风险水平下寻求最大的收益。满足这些标准的投资组合是有效的投资组合，这些投资组合的风险和收益的曲线图形成一个称为有效边界．

项目组合问题说明

要指定一个投资组合优化问题，您需要以下内容:

投资组合回报率的代表(μ）
投资组合风险的代表(Σ）
一组可行投资组合(X)，称为组合集

Financial Toolbox™有三个对象来解决特定类型的投资组合优化问题:

的<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/portfolio.html">投资组合对象支持均值方差投资组合优化(参见Markowitz [46]， [47] at<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)．该对象将总投资组合收益或净投资组合收益作为回报代理，将投资组合收益的方差作为风险代理，并将指定约束的任意组合作为投资组合集，以形成投资组合集。
的<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/portfoliocvar.html">PortfolioCVaR对象实现了所谓的条件风险价值投资组合优化(参见Rockafellar和Uryasev [48]， [49] at<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)，通常被称为CVaR投资组合优化。CVaR投资组合优化使用与均值-方差投资组合优化相同的回报代理和投资组合集，但使用投资组合回报的条件风险值作为风险代理。
的<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/portfoliomad.html">PortfolioMAD对象实现了所谓的平均-绝对偏差投资组合优化(参见Konno和Yamazaki [50])<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)，这通常被称为MAD投资组合优化。MAD投资组合优化使用与均值-方差投资组合优化相同的收益代理和投资组合集，但使用均值-绝对偏差投资组合收益作为风险代理。

返回代理

投资组合收益的代表是一个函数<年代p一个nclass="inlineequation"> $μ ： X \to R$ 在投资组合中<年代p一个nclass="inlineequation"> $X \subset R^{n}$ 这就是与投资组合选择相关的回报的特征。通常，投资组合收益的代表有两种一般形式，总投资组合收益和净投资组合收益。两种投资组合回报形式都将无风险利率分开r₀所以这个投资组合<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 只包含风险资产。

不管资产收益的底层分布，集合年代资产回报率y<年代ub>1、……y<年代ub>年代有一个资产回报的平均值

$米＝ \frac{1}{年代} \sum_{年代＝ 1}^{年代} y_{年代} ，$

和(样本)资产收益的协方差

$C ＝ \frac{1}{年代 - 1} \sum_{年代＝ 1}^{年代} （ y_{年代} - 米） {（ y_{年代} - 米）}^{T} ．$

这些矩(或描述这些矩的替代估计量)直接用于均值-方差投资组合优化，以形成投资组合风险和回报的代理。

投资组合总回报率

一个投资组合的总投资回报<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 是

$μ （ x ）＝ r_{0} + {（米 - r_{0} 1 ）}^{T} x ，$

地点:

r₀为无风险利率(标量)。

米是资产收益的平均值(n向量)。

如果投资组合权重之和为1，无风险利率是无关紧要的。中的属性投资组合对象来指定投资组合总回报率:

RiskFreeRate为r<年代ub>0
AssetMean为米

投资组合净回报率

一个投资组合的净投资回报<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 是

$μ （ x ）＝ r_{0} + {（米 - r_{0} 1 ）}^{T} x - b^{T} 马克斯｛ 0 ， x - x_{0} ｝ - {年代}^{T} 马克斯｛ 0 ， x_{0} - x ｝，$

地点:

r₀为无风险利率(标量)。

米是资产收益的平均值(n向量)。

b是购买资产的比例成本(n向量)。

年代是出售资产的比例成本(n向量)。

您还可以在这个模型中加入固定交易成本。虽然在这种情况下，有必要将价格纳入这种成本。中的属性投资组合对象来指定投资组合的净回报率为:

RiskFreeRate为r₀
AssetMean为米
InitPort为x₀
BuyCost为b
SellCost为年代

风险代理

投资组合风险的代表是一个函数<年代p一个nclass="inlineequation"> $σ ： X \to R$ 在投资组合中<年代p一个nclass="inlineequation"> $X \subset R^{n}$ 这体现了与投资组合选择相关的风险。

方差

一个投资组合的投资回报的方差<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 是

$V 一个 r 我一个 n c e （ x ）＝ x^{T} C x$

在哪里C是资产收益的协方差(n——- - - - - -n半正定矩阵)。

的财产投资组合对象指定投资组合回报的方差AssetCovar为C．

虽然均值-方差投资组合优化中的风险代理是投资组合收益的方差，但经常报告和显示的是平方根，即投资组合收益的标准差。此外，这个量通常被称为投资组合的“风险”。详情请参阅Markowitz [46]， [47] at (<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)．

条件风险价值

投资组合的条件风险价值<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ ，也称为预期缺口，定义为

$C V 一个 R_{α} （ x ）＝ \frac{1}{1 - α} \int_{f （ x ， y ） \geq V 一个 R_{α} （ x ）} f （ x ， y ） p （ y ） d y ，$

地点:

α概率水平是这样的吗0<α<1．

f (x, y)是投资组合的损失函数吗x资产回报y．

p (y)资产收益的概率密度函数是y．

VaR<年代ub>α投资组合的风险价值是什么x在概率层面上α．

风险价值定义为

$V 一个 R_{α} （ x ）＝最小值｛ γ ：公关［ f （ x ， Y ） \leq γ ］ \geq α ｝．$

CVaR的另一种形式是:

$C V 一个 R_{α} （ x ）＝ V 一个 R_{α} （ x ） + \frac{1}{1 - α} \int_{R^{n}} 马克斯｛ 0 ，（ f （ x ， y ） - V 一个 R_{α} （ x ））｝ p （ y ） d y$

概率水平的选择α通常为0.9或0.95。选择α意味着风险价值VaR<年代ub>α(x)对于投资组合x投资组合回报是否使得投资组合回报低于此水平的概率为(1- - - - - -α)．鉴于VaR<年代ub>α(x)对于一个投资组合x，投资组合的条件风险价值是投资组合收益高于风险价值的预期损失。

请注意

风险值是损失的正值，因此概率水平α表示投资组合收益低于负风险价值的概率。

为了描述收益的概率分布，用PortfolioCVaR对象接受返回场景的有限样本y_年代,年代＝1、……年代．每一个y_年代是一个n对象的返回值n场景下的资产年代．这个例子年代场景存储为一个大小相同的场景矩阵年代——- - - - - -n．然后，对于给定的投资组合，CVaR投资组合优化的风险代理<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 而且<年代p一个nclass="inlineequation"> $α \in （ 0 ， 1 ）$ ，计算为

$C V 一个 R_{α} （ x ）＝ V 一个 R_{α} （ x ） + \frac{1}{（ 1 - α ）年代} \sum_{年代＝ 1}^{年代} 马克斯｛ 0 ， - y_{年代}^{T} x - V 一个 R_{α} （ x ）｝$

风险价值,VaR_α（x)，在估算CVaR时进行估算。损失函数为<年代p一个nclass="inlineequation"> $f （ x ， y_{年代} ）＝ - y_{年代}^{T} x$ ，即情景下的投资组合损失年代．

在此定义下，VaR和CVaR是基于给定情景的VaR和CVaR的样本估计量。更好的情景样本产生更可靠的VaR和CVaR估计。

有关更多信息，请参见Rockafellar和Uryasev[48]，[49]和Cornuejols和Tütüncü， [51]， at<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化．

平均绝对偏差

投资组合的平均绝对偏差(MAD)<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 被定义为

$米一个 D （ x ）＝ \frac{1}{年代} \sum_{年代＝ 1}^{年代} | {（ y_{年代} - 米）}^{T} x |$

地点:

y<年代ub>年代资产回报是否包含场景年代= 1,……年代（年代的集合n向量)。

f (x, y)是投资组合的损失函数吗x资产回报y．

米是资产收益的平均值(n向量)。

这样

$米＝ \frac{1}{年代} \sum_{年代＝ 1}^{年代} y_{年代}$

欲了解更多信息，请参见Konno和山崎[50]<一个href="//www.ru-cchi.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化．

另请参阅

投资组合|<年代p一个n我temscope itemtype="//www.ru-cchi.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">PortfolioCVaR|<年代p一个n我temscope itemtype="//www.ru-cchi.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">PortfolioMAD