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主动返回和跟踪误差有效边界

假设您想确定一组有效的投资组合，在给定预期超额收益的前提下，使相对于给定目标投资组合的收益差方差最小化。这种超额收益的平均值和标准差通常分别称为主动收益和主动风险。主动风险有时被称为跟踪误差。由于目标是尽可能密切地跟踪给定的目标投资组合，因此投资组合的结果集有时被称为跟踪误差有效边界。

具体地说，假设目标投资组合表示为一个指数权重向量，这样指数回报系列就可以表示为可用资产的线性组合。这个例子说明了如何构建一个边界，以达到给定的回报水平，最小化主动风险(跟踪误差)。即计算跟踪误差有效边界。

构建跟踪误差有效边界的一种方法是显式形成目标收益序列，并从单个资产的收益序列中减去目标收益序列。通过这种方式，您可以指定活动收益的预期平均值和协方差，并计算受通常投资组合约束的有效边界。

这个例子直接处理绝对(未经调整的)收益的均值和协方差，但将约束从通常的绝对权重格式转换为主动权重格式。

考虑一个由五种资产组成的投资组合，其预期收益、标准差和基于绝对周资产收益的相关矩阵如下所示。

NumAssets = 5;ExpReturn = [0.2074 0.1971 0.2669 0.1323 0.2535]/100;Sigmas = [2.6570 3.6297 3.9916 2.7145 2.6133]/100;相关性= [1.0000 0.6092 0.6321 0.5833 0.7304 0.6092 1.0000 0.8504 0.8038 0.7176 0.6321 0.8504 1.0000 0.7723 0.7236 0.5833 0.8038 0.7723 1.0000 0.7225 0.7304 0.7176 0.7236 0.7225 1.0000];

将相关性和标准差转换为协方差矩阵corr2cov．

expco方差= corr2cov(西格玛斯，相关性);

接下来，假设目标指数投资组合是由五种资产组成的同等权重的投资组合。指标权重之和为1，满足标准全投资预算等式约束。

Index = ones(NumAssets, 1)/NumAssets;

使用生成资产约束矩阵portcons．约束矩阵AbsConSet以绝对格式表示(未对索引进行调整)，格式为[b]，对应于形式的约束A*w <= b．每一行AbsConSet对应于一个约束，每一列对应于一个资产。不允许卖空和完全投资每项资产(每项资产的下限和上限分别为0和1)。特别要注意的是，前两行对应于预算平等约束;其余行对应于上/下投资边界。

abconset = portcons(“PortValue”， 1, NumAssets，.．.“AssetLims”， 0 (NumAssets,1)， 1 (NumAssets,1));

现在把绝对约束转化为主动约束abs2active．

ActiveConSet = abs2active(AbsConSet, Index);

对绝对约束矩阵和活动约束矩阵的检查表明，它们只在最后一列(对应于的列)有所不同b在A*w <= b）.

[AbsConSet(:,结束)ActiveConSet(:,结束)
Ans = 1.0000 -1.0000 1.000 0.8000 1.000 0.8000 1.000 0.8000 1.000 0.8000 1.000 0.8000 1.000 0.8000 0 0.2000 0 0.2000 0 0.2000 0 0.2000 0 0.2000 0 0.2000 0 0.2000

特别要注意的是，和对一的绝对预算约束变成了和对零的活动预算约束。一般变换如下:

b 一个 c t 我 v e ＝ b 一个 b 年代 o l u t e − 一个 × 我 n d e x ．

现在构造投资组合对象并绘制21个组合的跟踪误差有效边界。

p =投资组合(“AssetMean”ExpReturn,“AssetCovar”, ExpCovariance);p = p. set不等式(ActiveConSet(:，1:end-1)， ActiveConSet(:，end));[ActiveRisk, ActiveReturn] = p.plotFrontier(21);情节(ActiveRisk * 100, ActiveReturn * 100,“蓝”)网格(“上”)包含(“主动风险(百分比标准差)”) ylabel (“活跃回报率(百分比)”)标题(“跟踪误差有效边界”）

特别值得注意的是左下方沿边界的投资组合。这种零风险/零回报的投资组合具有现实的经济意义。它代表对指数投资组合本身的全部投资。每个跟踪错误有效的投资组合(数组中的每一行ActiveWeights)满足主动预算约束，因此表示相对于指数投资组合的组合投资配置。要将这些配置转换为绝对投资配置，请将指数添加到每个有效投资组合中。

ActiveWeights = . estimatefrontier (21);AbsoluteWeights = ActiveWeights + repmat(Index, 1,21);

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