克利夫角:克利夫莫勒的数学和计算
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主螺旋2号

发布的克里夫硅藻土，2019年10月14日

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今天这篇文章的灵感来自YouTube上的一个视频，为什么质数会形成这些螺旋?，在频道上3 blue1brown，由格兰特·桑德森创作。在我看来，这是YouTube上最好的数学频道。他有漂亮的图形和高超的阐述。我建议你看一看，如果你还没有看过的话。

我2015年的帖子'螺旋是关于斯坦·乌拉姆发现的一个完全不同的素螺旋。

内容

螺旋极图

绘图方案如下图所示。我们用极坐标，$r， $，以弧度为单位。

每一个整数$n$都是在$r$和$\theta$都等于$n$的点上绘制的。例如，“6”位于距离原点6个单位的位置，与正x轴的角度为6弧度。因为6略小于$2\ $，所以6在第四象限，略低于x轴。而且12在6附近，18在12附近。6的倍数位于顺时针旋转的圆弧上，与下面编号方案的逆时针螺旋正交。一共有6条弧，因为6几乎等于2\pi$。

质数用蓝色表示。它们只占据了六个臂中的两个因为其他四个臂上的数字都能被2或3整除。

R <= 100

这是一个到100的整数的图形。六个顺时针的螺旋清晰可见。蓝色质数的两条臂很突出，但质数唯一相关的性质是它们不能被6的因数2和3整除。

R <= 300

这是一幅到300的整数图。有点乱。六只手臂不太明显，但你看到有什么东西取代了它们吗?

R <= 600

数字高达600。现在可以看到一组新的螺旋。有44个。这是因为44很接近$2\pi$的倍数。这个事实更广为人知的说法是22/7是$\pi$的合理近似值。这些螺旋是逆时针旋转的，因为44大于$7\pi$，而之前的螺旋是顺时针旋转的，因为6小于$2\pi$。

R <= 2000

到2000的整数。44条弧占主导地位。作业:哪些臂包含质数?

R <= 20000

它变得很拥挤，所以现在只有蓝色的点，质数，直到20000。那个白色的大条是什么?

R <= 100000

质数小于10万。新的结构出现了。这些径向臂的出现是因为355/115非常接近$\pi$。我们终于看到了关于质数的一个深刻事实的证据，狄利克雷定理关于质数在剩余类中的分布。请看格兰特·桑德森的文章视频详情如下。

prime_spiral_2.m

这里有一个动画gif显示我的应用程序prime_spiral_2在行动。它会自动不断放大和缩小，或者你可以用滚动条自己驱动它。此应用程序包含在4.7版本克利夫实验室。如果你想要一份独立的副本，请给我发电子邮件。

发布与MATLAB®R2018b

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类别:: 有趣,; 图形,; 质数

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