微分方程与线性代数,3.3b: y'=f(y,z)和z'=g(y,z)的线性化gydF4y2Ba
从系列中:gydF4y2Ba微分方程和线性代数gydF4y2Ba
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院gydF4y2Ba
对于两个方程,临界点有gydF4y2Baf (Y, Z)gydF4y2Ba= 0和gydF4y2Bag (Y, Z)gydF4y2Ba= 0。在常数解附近,两个线性化的方程使用2 × 2矩阵的偏导数gydF4y2BafgydF4y2Ba而且gydF4y2BaggydF4y2Ba.gydF4y2Ba
好的。两个方程,两个方程的稳定性问题,在临界点附近的稳定性。好的。我们的思路是线性化,寻找临界点附近的点。但现在我们在二维空间中。所以要做的还有很多。gydF4y2Ba
这是总体情况,这是一个例子。这是一般的设置。我们得到了y变化量的方程,但是z是包含在内的。我们有一个z的变化率的方程,但是y是包含在内的。所以它们是成对的。这种耦合将会是新的。gydF4y2Ba
临界点是什么?临界点是当右边这些项为0时。因为y和z都是常数。所以它们停留在这一点。它们在临界点处的位置都是稳态。它们保持稳定。它们保持稳定。它们保持恒定的值。所以我们想让它等于0。我们想让这个等于0。gydF4y2Ba
我们有两个方程,f = 0和g = 0,两个方程。但是我们有两个未知数,y和z,所以我们期待一些解。每个解决方案都必须单独考虑。每个解都是一个临界点。就像你可以想象一个高尔夫球场,有一个向上的表面。临界点就是最大值的点,或者最小值的点,或者我们会看到鞍点。gydF4y2Ba
我们来做个例子。这个例子很有名。它被称为捕食者-猎物。捕食者如狐狸,猎物如兔子。所以狐狸吃了兔子。问题是,狐狸和兔子的常数值可以保持的稳态是什么?gydF4y2Ba
这就是猎物的变化方程。所以如果兔子被单独留下,猎物就是兔子。如果让它们独处,它们会繁殖,有很多草。大胆尝试吧。但是如果有狐狸,而z表示狐狸的数量,那么狐狸就会吃这些兔子。我们失去了兔子。所以这里有个负号。捕猎的数量与狐狸的数量乘以兔子的数量成正比。因为这给出了可能会面的次数。gydF4y2Ba
那么捕食者狐狸呢?捕食者增加了。这就是遇到兔子的原因。这往往会使捕食者的数量增加。但是如果没有兔子,狐狸就不吃草。他们运气不好,就会腐烂。这里有个- z。看到规律了吗?gydF4y2Ba
从0和0开始,在这一点,我定义了临界点。这是f,它应该是0。这是g,它应该是0。结果只有两种可能。gydF4y2Ba
这是一个。如果y和z都是0,那么肯定会得到0。这就像从非常少量的狐狸和兔子开始。或者如果y = 1 z = 1,你看到了吗,它们会达到完美的平衡?如果y = 1 z = 1,那么这是0,这也是0。所以方程是满足的。y可以保持1 z也可以保持1。这是一个稳态。问题是,在稳态中兔子的数量是否保持在1,因为它们吃草,很好。但他们被狐狸吃掉了,真糟糕。 And those two balance, and give a rate of change of zero.
狐狸也一样,狐狸从吃兔子中得到积极的推动。但自然原因使它们减少了。它们在z = 1处平衡。gydF4y2Ba
好的。我要做的就是线性化。这就是这节课的重点。这就是线性的关键,如何线性化两个函数?如何线性化这两个函数呢?我得先把通式写出来,这样你们就能看出来了。然后我把它应用到这两个函数上。好的。gydF4y2Ba
这就是线性化的概念。所以我在线性化。第一个函数是不管它在这一点的值是多少,它就像一条切线。但是现在我有了两个导数。因为这个函数依赖于两个变量。我有y - y,乘以现在我要做偏导。这是y方向上的斜率,乘以移动量。gydF4y2Ba
然后类似的项,z - z乘以z方向的运动。我必须,因为我停止了,这是函数的线性部分。我必须写一个近似的符号。因为我忽略了高阶导数。当然这是0。这就是为什么y和z是线性的,乘以一些数字,斜率。gydF4y2Ba
但是我们还有两个斜率。因为我们有另一个函数g (y, z)同样近似于g在临界点的值,也就是0 + y - y,乘以dg dy + z - z乘以dg dz。总之,线性的东西和四个数字,f在y和z方向上的导数,g在y和z方向上的导数。好的。gydF4y2Ba
现在我们有一个例子。我再把这个例子拿下来。这是f,这是g,这些偏导数很容易求出来。我来做一下。所以关于y的偏导是1 - z, z保持不变。关于z的偏导是- y,我把这些都写下来。gydF4y2Ba
这是一个例子。那么我可以创建一个矩阵df / dy吗?这是一个很好的方法,如果我有4个东西,2 × 2矩阵是很好的。df, dz;dg dy;和dg dz。你可以说这是一阶导数矩阵。它是一阶导数矩阵它总是以Jacobi的名字命名他是第一个研究这个的人。它叫做雅可比矩阵。也许我该写上他的名字,雅各比。gydF4y2Ba
这个矩阵就是雅可比矩阵。它的行列式很重要。这是一个非常重要的矩阵,在经济学中很重要。我们在做一些事情——我在这里说的是捕食者-猎物,到处跑的小动物。但真正重要的是经济。经济稳定吗?如果它在某个稳态下运行我们稍微移动它一点,它会回到稳态吗,还是会完全失控?gydF4y2Ba
这就是雅可比矩阵。这些导数是什么?记住,是什么函数。这是我的函数。y的导数是1 - z, z的导数是- y y的导数是z z的导数是y - 1。可以吗?这是我们需要从函数中知道的。我忘了黑板上的函数了。这是它们的导数。gydF4y2Ba
这就是雅可比矩阵。这就是我的矩阵——这个矩阵有四个系数,这四个数。实际上,线性化,我称它为矩阵。我应该用J表示雅可比矩阵。我用J表示雅可比矩阵。好的。这就是雅可比矩阵。gydF4y2Ba
那么我的近似线性化方程是什么?我的线性化方程是y和z的时间导数,所以左边就是dy / dt和dz / dt。我用的是向量符号,把y和z放在一起,而不是分开,没什么大不了的。gydF4y2Ba
然后我有这个矩阵J,这个2 × 2矩阵,乘以你注意到这里是y - y和z - z,这是线性化的问题。线性化是因为这是常数,这是线性的,单个y,单个z,我们有一个矩阵J。gydF4y2Ba
现在我要做的就是找到临界点。我已经准备好了。我必须找到临界点。记住,临界点是f和g = 0的地方。让我回忆一下这些是什么。这是f,这是g,这是一个临界点。所有都是0。另一个关键点是这个。同样,所有都是0。我有两个临界点,两个雅可比矩阵,一个在第一个点,一个在第二个点。gydF4y2Ba
那么这些矩阵是什么?在y和z = 0处,我有一个矩阵,我把它放在这里,然后我复制它。如果y和z是0,我有一个1和一个0和一个- 1。我让y和z等于0。这是第一个临界点。第二个临界点给出了第二个点的雅可比矩阵。第二个点是当z = 1时。所以现在是0。y = 1,所以是- 1。Z是1 y - 1 y是1。 So that's a 0. That's the second Jacobian.
我们看到了一些有趣的现象。我们看了2 × 2矩阵是如何工作的通过一些很好的例子,1 0 - 1。这说明了什么?这说明兔子在成长。因为兔子是第一,狐狸会腐烂。这就是两个种群很小时的情况。当两个种群非常小的时候,把它们相乘是非常小的。所以当两个种群都很小的时候,忘了吃吧。周围没有足够的人,没有足够的狐狸和兔子来做一顿像样的饭。所以有dy / dt = y,兔子吃草生长。 dz dt is minus z, foxes are decaying from natural causes. So that's what kind of a stationary point will 0, 0 be?
兔子在成长。这是一个不稳定点。我们在0,0处离开。兔子越来越多。那么第二点呢?第二点是它们都是1的时候。当它们都是1时,我们得到这个雅可比矩阵。哦,这个很有趣。我能看完这个吗?我感兴趣的是,我把这些写在黑板上。gydF4y2Ba
y ' dy / dt等于y - yz。z ' = yz,兔子被吃掉,减去z,我感兴趣的是点y = 1, z = 1。这个矩阵是雅可比矩阵。雅可比矩阵的导数是,1 - z - y,它的y导数是z z的导数是y - 1。在这点y和z是1。这就变成了0 - 1 1和0。gydF4y2Ba
我在这里遇到了什么问题?我的线性化方程,在点(1,1)附近线性化了。方程是y - 1 '不好意思。它是到临界点的距离。y - 1的导数是,这里是a - 1。我看到a - z - 1。这里是a + y - 1。gydF4y2Ba
你们必须理解这对线性化方程。如果用其他变量,第一个的导数是-第二个。第二个项的导数是加上第一个项。会发生什么?gydF4y2Ba
一开始,如果我有更多的狐狸,兔子的数量就会下降。兔子的数量,这是负的。如果狐狸的数量z略高于1,那么兔子的数量就会下降。当兔子数量下降时,z也开始下降。当z开始下降到1以下时,兔子的数量开始增加。我得到了,怎么说呢,兔子和狐狸之间的交换,兔子和狐狸之间的振荡?gydF4y2Ba
所以这是,在中间,这是y = 1 z = 1的点,临界点。如果一开始有额外的兔子,那么兔子的数量就会下降。因为狐狸正在吃它们。狐狸的数量将会增加。我上去。之后我有了狐狸,但没有兔子吃。狐狸开始掉落,然后发生了什么?gydF4y2Ba
我想是的。兔子的数量开始增加。这就是发生的事情。我会绕着圈转一圈又一圈。如果你还记得2 × 2方程的路径图,有鞍点。这就是它。Y = 0 z = 0是鞍点。所以不,它是一个马鞍。gydF4y2Ba
当y = 1时,我发现了狐狸和兔子之间的振荡。所以,我可以说这是我们的中心这是一个非常特殊的图像,它没有螺旋出来。它没有螺旋上升。这些特殊的数,这个矩阵的特征值是,最好把特征值留到将来。因为它们恰好是i和- i。gydF4y2Ba
这是一个圆周运动。它来自于这个方程。圆周运动,如y ' ' + y = 0。这是圆周运动。这就是我们得到的。gydF4y2Ba
这是一个中心。那么,中心稳定呢?不完全是,因为兔子和狐狸不接近1。它们以1为圆周。要么我有多余的兔子,要么我有多余的狐狸。但是总能量或者说总能量在这个圆上保持不变。我称之为中性中性。中性稳定,因为它不会爆炸。我不会离开这片区域。我保持在临界点附近。 But I don't approach it either.
好的。这是一个基于线性化,我们可以看到稳定性的例子。好的。下节课还有一个例子。谢谢。gydF4y2Ba
了解更多gydF4y2Ba
选择网站gydF4y2Ba
选择一个网站,在可用的地方获得翻译的内容,并查看当地的活动和优惠。根据您所在的位置,我们建议您选择:gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
您也可以从以下列表中选择一个网站:gydF4y2Ba
如何获得最佳的网站性能gydF4y2Ba
选择中国站点(中文或英文)以获得最佳站点性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。gydF4y2Ba
美洲gydF4y2Ba
- 美国拉丁gydF4y2Ba(西班牙语)gydF4y2Ba
- 加拿大gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 美国gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
欧洲gydF4y2Ba
- 比利时gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 丹麦gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 德国gydF4y2Ba(德语)gydF4y2Ba
- 西班牙gydF4y2Ba(西班牙语)gydF4y2Ba
- 芬兰gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 法国gydF4y2Ba(法语)gydF4y2Ba
- 爱尔兰gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 意大利gydF4y2Ba(意大利语)gydF4y2Ba
- 卢森堡gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 荷兰gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 挪威gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 奥地利gydF4y2Ba(德语)gydF4y2Ba
- 葡萄牙gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 瑞典gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 瑞士gydF4y2Ba
- 联合王国gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
亚太地区gydF4y2Ba
- 澳大利亚gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 印度gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 新西兰gydF4y2Ba(英语)gydF4y2Ba
- 中国gydF4y2Ba
- 日本gydF4y2Ba日本gydF4y2Ba(日本語)gydF4y2Ba
- 한국gydF4y2Ba朝鲜文gydF4y2Ba(한국어)gydF4y2Ba