微分方程与线性代数,2.1b:强迫调和运动
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
与强迫f= cos(ωt),特解为Y* cos(ωt).但如果强迫频率等于固有频率,就会产生共振。
这是关于二阶常系数微分方程的第二个视频,但是现在我们有一个右边。第一个是零的自由调和运动,但现在我做这个运动,我推动这个运动,但频率是。这是我的强制项。
我想我有一个强制频率,记住,对于这个,对于无解,有一个固有频率n,这很重要,它们是否很接近,它们是否分离得很好?这就决定了你走过的桥是否会剧烈震荡最终倒塌。
或者在极端情况下,它们相等吗?如果n等于,就叫做共振。让我把这个词写进去。共振。当等于n时,我们今天不打算处理,但你们应该知道这个公式总是有- n除以这个。如果这是0,如果等于n我们的公式就要改变。
今天,这种情况不会发生。不。公式是什么?yp是什么?我在寻找一个特解。这是一个很好的函数在实践中也很重要。所以我希望特解可以是cos t的倍数。
在这个问题中,这是可能的。因为如果我有一个余弦,我在右边有一个余弦,如果这个余弦在这里,它在左边,余弦的二阶导数是,同样的,一个余弦,我将得到cos t项的匹配项。然后选择正确的数字Y。
当这里有一阶导数的时候我就不能这样做了,因为cos的一阶导数会带符号。我将得到cos和sin的混合物然后我最好允许它们的混合物。但在这里我不需要。
这是强迫函数。反应,这是强制反应。我想习惯用响应这个词来表示解决方案。这是输入,响应是输出。把它代入方程,求出Y。
这里是m,二阶导是Y,二阶导是a -²乘以cos。这里kY等于Y乘以cos等于cos。这里可以有一个常数,但整个过程并不比1更有趣,更困难。
那我该怎么办呢?这里的好处是我有所有的余弦,所以我只有-²m和k,所以是k - m²。我可以这么写吗?乘以y,我要消掉cos。就是1。这边是1。
我消去了cos,所以我保留了kY。我保留了1,我保留了-的平方。这就告诉我们Y。这就像代入指数然后把指数消掉一样。这里,我把余弦都消掉了因为每一项都是余弦。
所以我知道y,所以我知道答案。所以最终答案是Y(t) = Yn。先写Y + Yn。我已经找到了Y特。Y是大写的Y cos t,所以是cos t乘以Y Y等于1除以这个。
这是y,下面是k - m²。对吧?这就是我们刚刚找到的,特解。大写的Y,乘以常数,等于1除以这个常数。现在是c1cos nt和c2sin nt。
记住,n和不一样。实际上,这里很不错。我可以用另一种方式写,这样你们就能明白这里的重要性了。记住,n方是多少?记住n方等于k / m,对吧?是的。
k等于——我把m写在上面——k等于m n的平方。k等于m n的平方这里减去m的平方。你们会看到共振或接近共振的全部意义当桥被迫在接近它的共振频率时。
这个差,的平方,两个频率之间的差的平方在分母上,它会很小,然后影响会很大。如果距离太近,影响就会太大。我们会看到cos t除以这个,我把它叫做,频率响应是这个因子。1 / m n²-²。
这是关键的乘数当强制项是一个纯频率时,这个频率会爆炸。现在,当然,C1和C2是什么?我们从初始条件中找到它们。当t = 0时,代入t = 0,这就告诉我们C1是多少。我们再次代入t = 0来匹配速度Y '在0处的速度,这告诉我们C2。你能接受吗?
看看这个解决方案的美妙之处。这是零部分。这是强制的部分,特殊的部分,cos除以那个常数。还有一个方程,一个强迫的项,我想经常和现在讨论。这是一个脉冲函数。
我再加一个例子。' ' + ky =函数。δ函数。这叫做脉冲。我也要解这个方程。当强迫项在一秒发生时,在最初的一秒。当t = 0时,函数触碰到弹簧。
所以弹簧或者钟摆在那里。实际上,让它停下来吧。这是我的钟摆。我画一个钟摆。我不知道。这可不是什么钟摆。但这已经足够好了。
这个方程说的是如果我用点源撞击它会发生什么?当t = 0时,我击中它,但我给它一个有限的速度。它不会在那一瞬间移动。这就是函数的作用了我先给你们结果然后我们再来看。
我在做什么?我想解这个方程当强迫函数是脉冲函数时。我称y为脉冲响应。它是当强制函数是脉冲时的解。y是脉冲响应。事实上,它非常重要,我要给它单独写个字母。现在,我能把y变成g吗?
g是g (t)是脉冲响应。如果我能解出这个方程。你可能会说,没那么容易。对于函数,它甚至不是一个真正的函数。这有点疯狂。这一切都发生在一秒钟内。对不起,就一会儿。不是超过一秒,而是一瞬间。
但我能解出来。因为这个原因我可以解出来。我可以把它看作是一个脉冲或者我有一个选择,另一种方式我可以把它看作是不费力解出mg ' '同样的问题,同样的解是0。
但我从休息开始。什么都没有发生。Y(0) = 0。它从初速度y '(0)开始。冲动一开始就像打高尔夫球一样。那就去吧。这里是1 / m。我下次再讨论这个问题。
现在我想知道的是,要么是这个有点神秘的方程要么是这个完全正常的方程,甚至是一个从y(0) = 0开始的无方程。但是脉冲给系统的初速度。我应该叫它g,这是g,我们还会看到脉冲响应,但这次我们通过解这个方程来看看。
所以我打算解这个方程实际上我们上次已经解过了。还记得这个的解吗?从0开始,没有余弦。但当初速度是1 / m时,有个符号。我把g (t)写下来,也就是sin (nt)
为什么是固有频率?因为我解的是no。我在寻找一个无解方案。但之前关于无解的视频得到了这个。我只需要除以,得到1 / m作为初速度。你会发现这可以解no方程。
这就是钟摆或高尔夫球的情况。摆就好多了。实际上,高尔夫球就是一个很好的例子。很抱歉。高尔夫球不会来回摆动。他们倾向于去。
我看到的是钟摆,上下摆动的弹簧。所以弹簧开始时,初速度是1 / m之后什么都没发生。这就是脉冲响应。对冲动的反应我为什么喜欢呢?首先,它很漂亮。简单的答案。
其次,每个强迫函数,输出都来自于这个。我们会看到这一点。我们引入了强制函数,cos t,其中特解是cos t的倍数,现在,我们引入了强制函数,这个函数的响应是正弦函数。谢谢你!
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