长死时间过程的控制:史密斯预测器

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这个例子显示了PI控制对于具有长死时间的过程的局限性，并说明了称为“史密斯预测器”的控制策略的好处。

这个例子的灵感来源于:

王志强，“控制工程学报”，2001年第3期，第1 - 3页。

流程模型

过程开环响应建模为一阶加死时间，时间常数为40.2秒，时延为93.9秒:

s =特遣部队(“年代”）;P = exp(-93.9*s) * 5.6/(40.2*s+1);P.InputName =“u”；P.OutputName =“y”；P

P =从输入"u"到输出"y": 5.6 exp(-93.9*s) * ---------- 40.2 s + 1连续时间传递函数。

注意，延迟是时间常数的两倍多。这个模型是许多化学过程的代表。其阶跃响应如下所示。

步骤(P)、网格在

比例积分控制器

比例积分控制是过程控制中常用的一种控制方法。相应的控制体系结构如下所示。

补偿器C是一个标准形式的PI控制器，具有两个调谐参数:比例增益Kp一个积分时间“透明国际”．我们使用PIDTUNE命令设计开环带宽为0.006 rad/s的PI控制器:

Cpi = pidtune (P, pidstd (1, 1), 0.006);消费者价格指数

Cpi = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s与Kp = 0.0501, Ti = 47.3连续时间PI控制器的标准形式

为了评估PI控制器的性能，关闭反馈回路并模拟参考信号对阶跃变化的响应ysp输出干扰信号d．由于反馈路径存在延迟，因此需要进行转换P或消费者价格指数的状态空间表示形式党卫军命令:

Tpi =反馈(P * Cpi, 1, 1, 1, 1);闭环模型[ysp;dTpi。InputName = {“ysp”' d '};步骤(Tpi)、网格在

闭环响应有可接受的超调，但有些迟缓(大约在600秒内稳定下来)。增加比例增益Kp加快响应，但也显著增加超调量，并迅速导致不稳定:

Kp3 = (0.06; 0.08; 0.1);尝试Kp的三个递增值Ti3 = repmat (Cpi.Ti 3 1);% Ti保持不变C3 = pidstd (Kp3 Ti3);%对应的三个PI控制器T3 =反馈(P * C3, 1);T3。InputName =“ysp”；步骤(T3)标题(“增加Kp时的稳定性损失”）

PI控制器的性能受到长死时间的严重限制。这是因为PI控制器不知道死时间，当实际输出时反应太“不耐烦”y与期望的设定值不匹配ysp．每个人在淋浴时都经历过类似的现象，水温需要很长时间来调整。在那里，不耐烦通常会导致用滚烫的水和冰冷的水交替责骂。一个更好的策略是等待温度设置的变化生效，然后再进行进一步的调整。一旦我们知道了如何设置旋钮来传递我们最喜欢的温度，我们就可以在淋浴的反应时间内得到合适的温度。这种“最优”控制策略是史密斯预测器方案背后的基本思想。

史密斯预测器

史密斯预测器控制结构如下图所示。

史密斯预测器使用内部模型全科医生预测过程的无延迟响应yp(例如，给定的旋钮设置将提供什么水温)。然后将这个预测yp与期望设定值ysp进行比较，以决定需要什么调整(控制u)。为了防止漂移和拒绝外部干扰，史密斯预测器还将实际过程输出与预测进行比较日元这就把死亡时间考虑在内了。的差距dy = y-y1通过滤波器F反馈，并导致总体误差信号e．请注意,dy相当于感知到的温度不匹配后等着阵雨有反应。

部署史密斯预测器方案需要

一个模型全科医生过程的动态和一个估计τ进程死时间

补偿器和滤波器动态的适当设置(C而且F）

基于流程模型，我们使用:

$$ G_p (s) ={5.6 \ /(1 + 40.2年代}\τ= 93.9 $$

为F，使用具有20秒时间常数的一阶滤波器捕捉低频干扰。

F = 1 / (20 * s + 1);F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

为C，我们重新设计PI控制器与PI控制器所看到的整个工厂，其中包括动力学从P，全科医生，F和死时间。在史密斯预测器控制结构的帮助下，我们能够增加开环带宽以实现更快的响应，并增加相位裕度以减少超调。

%的过程P = exp(-93.9*s) * 5.6/(40.2*s+1);P.InputName =“u”；P.OutputName =“y0”；%预测模型Gp = 5.6 / (40.2 * s + 1);全科医生。InputName =“u”；全科医生。OutputName =“yp”；Dp = exp (-93.9 *);Dp。InputName =“yp”；Dp。OutputName =“日元”；%整体植物S1 = sumblk ('ym = yp + dp'）;S2 = sumblk ('dy = y0 - y1'）;工厂=连接(P, Gp, Dp, F, S1, S2,“u”，“ym”）;设计PI控制器0.08 rad/s带宽和90度相位裕度选择= pidtuneOptions (“PhaseMargin”, 90);C = pidtune(植物、pidstd(1, 1), 0.08,选项);C.InputName =“e”；C.OutputName =“u”；C

C = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s，其中Kp = 0.574, Ti = 40.2连续时间PI控制器的标准形式

PI控制器与史密斯预测器的比较

为了比较两种设计的性能，首先推导出闭环传递函数ysp d来ySmith Predictor体系结构。为了便于连接所有涉及的块，命名所有它们的输入和输出通道，并让连接做连接:

从[y_sp,d]到y组装闭环模型Sum1 = sumblk ('e = ysp - yp - dp'）;Sum2 = sumblk ('y = y0 + d'）;Sum3 = sumblk ('dy = y - y1'）;T =连接(P, Gp, Dp, C、F Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;

使用一步对比史密斯预测器(蓝色)和PI控制器(红色):

步骤(T)“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测器”，比例积分控制器的）

史密斯预测器提供了更快的响应，没有超调。通过绘制闭环波德响应，在频域也可以看到这种差异ysp来y．注意史密斯预测器的更高带宽。

波德(T (1, 1),“b”Tpi (1,1),“r——”1}、{1 e - 3)网格在传奇(“史密斯预测器”，比例积分控制器的）

模型失配的鲁棒性

在前面的分析中，内部模型

$G_p(s) e^{-\tau s}$

匹配流程模型P完全正确。在实际情况下，内部模型只是真实过程动力学的近似，因此了解史密斯预测器对过程动力学和死时间的不确定性的鲁棒性是很重要的。

考虑两个代表工艺参数不确定范围的扰动工厂模型:

P1 = exp(-90*s) * 5/(38*s+1);P2 = exp(-100*s) * 6/(42*s+1);波德(P, P1, P2),网格在标题(“名义和摄动过程模型”）

为了分析鲁棒性，将名义模型和摄动模型收集到一组过程模型中，重建PI和Smith Predictor设计的闭环传递函数，并模拟闭环响应:

植物=堆栈(1,P, P1, P2);进程模型的%数组T1 =连接(植物、全科医生、Dp、C、F, Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;%史密斯Tpi =反馈(植物* Cpi, 1, 1, 1, 1);%π步骤(T1,“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(“史密斯预测器1”，比例积分控制器的）

两种设计对模型失配都很敏感，闭环Bode图证实:

波德(T1 (1, 1),“b”Tpi (1,1),“r——”网格)在传奇(“史密斯预测器1”，比例积分控制器的）

提高鲁棒性

为了降低史密斯预测器对建模误差的敏感性，检查内环和外环的稳定裕度。内循环C有开环传输C *的全科医生因此稳定裕度可由

空白(C * Gp)标题(“内环的稳定裕度(C)”）

内环有舒适的增益和相位裕度，所以关注外环下一步。使用连接推导开环传递函数l从ysp来dp当内循环关闭时:

Sum1o = sumblk ('e = ysp - yp'）;%在dp处打开循环L =连接(P, Gp, Dp, C、F Sum1o, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“迪拜”）;bodemag (L (1,1))

当过程和预测模型完全匹配时，这个传递函数本质上是零。为了深入了解外环的稳定裕度，我们需要使用一个扰动过程模型，例如，P1：

H =连接(植物(:,:2),Gp, Dp, C, Sum1o, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“dy”）;H = H (1,1);开环传输L = f * h;保证金(L)标题(“外环的稳定裕度(F)”网格)在；xlim([1依照1]);

增益曲线在0.04 rad/s附近有一个驼峰，降低了增益裕度，增加了闭环阶跃响应中的驼峰。要解决这个问题，请选择一个过滤器F它滚动得更早更快:

F = (1 + 10 * s) / (1 + 100 * s);F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

验证增益裕度在0.04 rad/s相位交叉附近有所改善:

L = f * h;保证金(L)标题(“带修正F的外环稳定裕度”网格)在；xlim([1依照1]);

最后，用改进后的滤波器模拟闭环响应:

T2 =连接(植物、全科医生、Dp、C、F, Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;步骤(T2,“b”Tpi,“r——”网格)在传奇(《史密斯预测2》，比例积分控制器的）

修改后的设计以略慢的名义响应为代价提供了更一致的性能。

提高抗干扰性

闭环传递函数的公式d来y显示为最优选择F是

$F(s) = e^{\tau s}$

在哪里τ是内部模型的死亡时间。这种选择实现了完全的干扰抑制，不管两者之间的不匹配P而且全科医生．不幸的是，这种“负延迟”并不是因果关系，也无法实现。摘要:

黄,H.-P。，et al., "A Modified Smith Predictor with an Approximate Inverse of Dead Time," AiChE Journal, 36 (1990), pp. 1025-1031

作者建议使用相位超前近似:

$e $ $ ^{\τs} \大约{1 + B (s) \ / (1 + B (s) e ^{- \τs}} $ $$

在哪里B低通滤波器是否具有与内部模型相同的时间常数全科医生．您可以通过以下方法测试该方案:

定义B(s)和F(s)

40 * s + B = 0.05 / (1);τ= totaldelay (Dp);F = (1 + B) / (1 + B * exp(τ* s));F.InputName =“dy”；F.OutputName =“迪拜”；

重新设计降低带宽的PI控制器

工厂=连接(P, Gp, Dp, F, S1, S2,“u”，“ym”）;C = pidtune(植物、pidstd (1, 1), 0.02, pidtuneOptions (“PhaseMargin”, 90));C.InputName =“e”；C.OutputName =“u”；C

C = 1 1 Kp *(1 + ---- *——)Ti s与Kp = 0.144, Ti = 40.1连续时间PI控制器的标准形式

计算闭环模型T3

T3 =连接(植物、全科医生、Dp、C、F, Sum1, Sum2, Sum3, {“ysp”，' d '}，“y”）;

比较T3和T2和Tpi

步骤(T2,“b”T3,‘g’Tpi,“r——”网格)在传奇(《史密斯预测2》，“史密斯预测3 '，比例积分控制器的）

这一比较表明，我们的最后一个设计加快了扰动抑制，以较慢的设定点跟踪为代价。