解决僵硬的颂歌

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本页包含两个例子，解决刚性常微分方程使用ode15s．MATLAB®有四个求解器设计为刚性ode。

ode15s
ode23s
ode23t
ode23tb

对于大多数难题，ode15s表现最好的。然而,ode23s，ode23t,ode23tb如果问题允许粗略的容错，可以更有效。

什么是硬ODE?

对于某些ODE问题，与积分区间相比，求解器所取的步长被迫降至一个不合理的小水平，即使在解曲线是光滑的区域。这些步长可能非常小，以至于在很短的时间间隔内遍历可能需要进行数百万次计算。这可能导致解算器集成失败，但即使它成功了，也需要很长时间才能完成。

在ODE求解器中引起这种行为的方程被称为僵硬的．僵硬的ode带来的问题是显式求解器(例如数值)在达成解决方案方面慢得令人难以忍受。这就是为什么数值被归类为该方法解算器随着ode23，ode78，ode89,ode113．

为硬ode设计的求解器，称为僵硬的解决者，通常每一步做更多的工作。其结果是，与非刚性求解器相比，它们能够采取更大的步骤，并有更好的数值稳定性。

解算器选项

对于复杂的问题，用odeset特别重要。刚性求解者使用雅可比矩阵 $\partial f_i / \partial y_j$ 在积分过程中估计ODE的局部行为，因此提供雅可比矩阵(或者，对于大型稀疏系统，它的稀疏模式)对效率和可靠性至关重要。使用雅可比矩阵，JPattern,或矢量化选项的odeset来指定关于雅可比矩阵的信息。如果不提供雅可比矩阵，则求解器使用有限差分进行数值估计。

看到odeset有关其他求解器选项的完整列表。

例子:Stiff van der Pol方程

范德堡尔方程是二阶ODE

$$ y“_1 - \μ\离开(1 - y_1 ^ 2 \右)y ' _1 + y_1 = 0, $$

在哪里 $美元\μ& # 62;0＄$ 是一个标量参数。当 $\mu = 1$ ，得到的ode系统非刚性，易于求解数值．然而，如果你增加 $\μ美元$ 到1000时，溶液会发生剧烈变化，并在更长的时间尺度上呈现振荡。逼近初值问题的解变得更加困难。因为这个特定的问题是刚性的，所以针对非刚性问题的求解器，例如数值，效率太低，不实际。使用硬求解器，例如ode15s而是这个问题。

通过代换，将范德堡尔方程改写为一阶ode方程组 $y'_1 = y_2$ ．得到的一阶ode系统为

$数组$ $ & # xA; \开始{}{cl} & # xA; y“_1 & # 38;= y_2 \ \ & # xA; y ' _2 & # 38; = \μ(1-y_1 ^ 2) y_2结束——y_1。\{数组}& # xA; $ $$

的vdp1000函数求范德堡尔方程的值 $\mu = 1000$ ．

函数Dydt = vdp1000(t,y)求mu = 1000时的van der Pol ode。％%参见ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB。Jacek Kierzenka和Lawrence F. Shampine。版权所有The MathWorks, Inc.Dydt = [y(2);1000 * (1 y (1) ^ 2) * y (2) - y (1)];

使用ode15s函数来解决初始条件向量的问题[2;0]的时间间隔3000年[0]．由于比例的原因，只绘制解决方案的第一个组件。

[t,y] = ode15s(@vdp1000，[0 3000]，[2;0]);情节(t y (: 1),“o”）;标题(van der Pol方程的解，\mu = 1000）;包含(“t”）;ylabel (“解决方案y_1”）;

的vdpode函数也解决了同样的问题，但是它接受用户指定的值 $\μ美元$ ．方程变得越来越僵硬 $\μ美元$ 增加。

例如:稀疏布鲁塞尔系统

经典的布鲁塞尔方程组具有潜在的巨大、僵硬和稀疏性。布鲁塞尔系统模拟化学反应中的扩散，并由一个涉及的方程组表示你美元，五美元，你的美元 , v '美元．

$数组$ $ \开始{}{cl} u”_i & # 38; = 1 + u_i ^ 2 v_i-4u_i +α\ \离开(N + 1 \右)& # xA; ^ 2 \离开(u_张{}2 _i + u_ {i + 1} \) \ \ v ' _i & # 38; = 3 u_i-u_i ^ 2 v_i + \α# xA; \离开(N + 1 \右)^ 2 \离开(v_张{}- 2 v_i + v_ {i + 1} \) \{数组}$ $$

函数文件brussode在时间区间上求解这组方程[0, 10]与 $\alpha = 1/50$ ．初始条件是

$数组$ $ \开始{}{cl} u_j(0) & # 38; = 1 + \罪(2 \πx_j) \ \ v_j (0) & # 38; = & # xA; 3 \{数组}$ $$

在哪里 $x_j = i/N+1 为 i = 1美元,…,N ．因此，有 2 n美元方程组中的方程，但是雅可比矩阵 $\partial f / \partial y$ 如果方程的顺序为，带矩阵是否具有恒定的宽度5 u_1美元,v_1, u_2、v_2…美元．作为 N美元增大时，问题变得越来越僵硬，雅可比矩阵变得越来越稀疏。

函数调用brussode (N),因为 $N \ge 2$ 的值N在方程组中，对应网格点的个数。默认情况下,brussode使用 $ n = 20$ ．

brussode包含几个子函数:

嵌套函数f (t, y)对布鲁塞尔问题的方程组进行编码，返回一个向量。
局部函数jpattern (N)返回一个由1和0组成的稀疏矩阵，显示非零在雅可比矩阵中的位置。这个矩阵被赋值给JPattern选项结构的字段。ODE求解器使用这种稀疏模式以稀疏矩阵的形式生成雅可比矩阵。在问题中提供这种稀疏模式可以显著减少生成2N × 2N雅可比矩阵所需的函数计算次数，从2N次计算减少到仅仅4次。

函数brussode (N)模拟化学反应的僵硬问题(布鲁塞尔人)。%参数N >= 2用于指定网格点的数量;的结果系统由2N个方程组成。缺省情况下，N为20。的%问题变得越来越僵硬，越来越稀疏%增加。这个问题的雅可比矩阵是一个稀疏常数矩阵%(带宽为5)。％属性“JPattern”用于为求解器提供一个稀疏的%矩阵的1和0表示非零在雅可比矩阵中的位置% df / dy。默认情况下，ODE套件的硬求解器生成雅可比矩阵%作为完整矩阵。然而，当稀疏模式是%的条件下，求解器用它来生成数值形式为a的雅可比矩阵%稀疏矩阵。提供稀疏模式可以显著减少生成雅可比矩阵所需的函数计算的%数量加快整合。对于BRUSSODE问题，只有4个评价%的函数需要计算2N × 2N的雅可比矩阵。％设置'Vectorized'属性表示函数f是%矢量化。％E. Hairer和G. Wanner，求解常微分方程II，刚性和微分代数问题，Springer-Verlag，柏林，% 1991，第5-8页。％%参见ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB, ODESET, FUNCTION_HANDLE。Mark W. Reichelt和Lawrence F. Shampine, 8-30-94版权所有The MathWorks, Inc.问题参数，与嵌套函数共享。如果nargin<1 N = 20;结束Tspan = [0;10);y0 = [1+sin((2* /(N+1))*(1:N));repmat (1, N)];选项= odeset(矢量化的，“上”，“JPattern”, jpattern (N));[t,y] = ode15s(@f,tspan,y0,options);U = y(:，1:2:end);x = (1:N)/(N+1);图;冲浪(x, t, u);视图(-40年,30);包含(“空间”）;ylabel (“时间”）;zlabel (解决你的）;标题([“N =的布鲁塞尔人”num2str (N)));% -------------------------------------------------------------------------嵌套函数——N由外部函数提供。％函数Dydt = f(t,y)%导数函数c = 0.02 * (N+1)²;dydt = 0 (2*N,size(y,2));%预分配dy/dt在网格的边缘处计算函数的两个分量。%(带有边缘条件)。I = 1;Dydt (i，:) = 1 + y(i+1，:).*y(i，:)。^2 - 4*y(i，:) +c*(1-2*y(i,:)+y(i+2,:)); dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(3-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));求函数在所有内部网格点上的两个分量。。i = 3:2:2*N-3;Dydt (i，:) = 1 + y(i+1，:).*y(i，:)。^2 - 4*y(i，:) +.．.c * (y(:我2)2 *(我:)+ y(我+ 2,));Dydt (i+1，:) = 3*y(i，:) - y(i+1，:).*y(i，:)。^ 2 +.．.: c * (y(张)2 *(我+ 1,)+ y (i + 3,:));在网格的另一边计算函数的两个分量。%(带有边缘条件)。i = 2*N-1;Dydt (i，:) = 1 + y(i+1，:).*y(i，:)。^2 - 4*y(i，:) +c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+1); dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+3);结束% -------------------------------------------------------------------------结束% brussode% ---------------------------------------------------------------------------子函数——稀疏模式％函数S = jpattern(N)%雅可比矩阵稀疏模式B = ones(2*N,5);B(2:2:2*N,2) = 0 (N,1);B(1:2:2*N-1,4) = 0 (N,1);S = spdiags(B，-2:2,2*N,2*N);结束% ---------------------------------------------------------------------------