选择一个ODE求解器- MATLAB & Simulink - 卡塔尔世界杯8强比赛直播

选择一个ODE求解器

常微分方程

一个常微分方程(ODE)包含一个因变量的一个或多个导数，y，对于单个自变量，t，通常被称为时间。的导数的表示法y关于t是 $y ”$ 对于一阶导数， $y ” ”$ 二阶导数，等等。的订单ODE等于的最高阶导数y这出现在方程中。

例如，这是二阶ODE:

$y ” ” ＝ 9 y$

在一个初值问题时，ODE由初始状态开始求解。利用初始条件， $y_{0}$ 以及得到答案的一段时间， $（ t_{0} ， t_{f} ）$ ，迭代求解。每一步求解器对前一步的结果应用特定的算法。在第一个这样的步骤中，初始条件提供了允许进行集成的必要信息。最终的结果是ODE求解器返回一个时间步长的向量 $t ＝［ t_{0} ， t_{1} ， t_{2} ， .．. ， t_{f} ］$ 以及每一步对应的解 $y ＝［ y_{0} ， y_{1} ， y_{2} ， .．. ， y_{f} ］$ ．

类型的常微分方程

MATLAB中的ODE求解器^®解决这类一阶ode:

形式的显式颂歌 $y ” ＝ f （ t ， y ）$ ．
形式的线性隐式ode $米（ t ， y ） y ” ＝ f （ t ， y ）$ ,在那里 $米（ t ， y ）$ 是一个非奇异质量矩阵。质量矩阵可以是时间或状态相关的，也可以是常数矩阵。线性隐式ode涉及一阶导数的线性组合y，编码在质量矩阵中。
线性隐式ode总是可以转换成显式形式， $y ” ＝米^{- 1} （ t ， y ） f （ t ， y ）$ ．然而，直接指定质量矩阵到ODE求解器避免了这种转换，这是不方便的，而且计算成本高。
如果某些成分 $y ”$ 都不见了，那么方程叫什么微分代数方程，即DAEs, DAEs系统包含一些代数变量．代数变量是因变量，其导数不出现在方程中。通过对方程求导消去代数变量，可以将一阶微分方程的系统重写为一阶微分方程的等价系统。将DAE重写为ODE所需的导数的数量称为微分索引。的ode15s而且ode23t求解器可以求解index-1 dae。
完全隐式的形式赞美诗 $f （ t ， y ， y ” ）＝ 0$ ．完全隐式ode不能以显式形式重写，而且还可能包含一些代数变量。的ode15i求解器是为完全隐式问题设计的，包括索引-1 dae。

方法可以为某些类型的问题的求解器提供附加信息odeset函数来创建一个选项结构。

系统的常微分方程

你可以指定任意数量的耦合ODE方程来求解，原则上方程的数量只受可用计算机内存的限制。如果方程组有n方程,

$（ \begin{matrix} y ”_{1} \\ y ”_{2} \\ ⋮ \\ y ”_{n} \end{matrix} ）＝（ \begin{matrix} f_{1} （ t ， y_{1} ， y_{2} ， .．. ， y_{n} ） \\ f_{2} （ t ， y_{1} ， y_{2} ， .．. ， y_{n} ） \\ ⋮ \\ f_{n} （ t ， y_{1} ， y_{2} ， .．. ， y_{n} ） \end{matrix} ），$

然后编码方程的函数返回一个向量n元素，对应于的值 $y ”_{1} ， y ”_{2} ， .．. ， y ”_{n}$ ．例如，考虑两个方程的系统

$｛ \begin{array}{l} y ”_{1} ＝ y_{2} \\ y ”_{2} ＝ y_{1} y_{2} - 2 ． \end{array}$

编码这些方程的函数是

函数dy = myODE(t,y) dy(1) = y(2);dy (2) = y y (1) * (2) 2;结束

高阶常微分方程

MATLAB ODE求解器只解一阶方程。您必须使用泛型替换将高阶ode重写为一阶方程的等价系统

$\begin{array}{l} y_{1} ＝ y \\ y_{2} ＝ y ” \\ y_{3.} ＝ y ” ” \\ ⋮ \\ y_{n} ＝ y^{（ n - 1 ）} ． \end{array}$

这些替换的结果是一个系统n一阶方程

$｛ \begin{array}{l} y ”_{1} ＝ y_{2} \\ y ”_{2} ＝ y_{3.} \\ ⋮ \\ y ”_{n} ＝ f （ t ， y_{1} ， y_{2} ， .．. ， y_{n} ）． \end{array}$

例如，考虑三阶ODE

$y ” ” ” - y ” ” y + 1 ＝ 0.$

使用替换

$\begin{array}{l} y_{1} ＝ y \\ y_{2} ＝ y ” \\ y_{3.} ＝ y ” ” \end{array}$

结果是等价的一阶系统

$｛ \begin{array}{l} y ”_{1} ＝ y_{2} \\ y ”_{2} ＝ y_{3.} \\ y ”_{3.} ＝ y_{1} y_{3.} - 1. \end{array}$

这个方程组的代码是

函数Dydt = f(t,y) Dydt (1) = y(2);dydt (2) = y (3);dydt (3) = y y (3) (1) * 1;结束

复杂的常微分方程

考虑复杂的ODE方程

$y ” ＝ f （ t ， y ），$

在哪里 $y ＝ y_{1} + 我 y_{2}$ ．将实部和虚部分离成不同的解分量，最后将结果重新组合。从概念上讲，这看起来像

$\begin{array}{l} y v ＝［真正的（ y ）图像放大（ y ）］ \\ f v ＝［真正的（ f （ t ， y ））图像放大（ f （ t ， y ））］． \end{array}$

例如，如果ODE是 $y ” ＝ y t + 2 我$ ，然后你可以用函数文件来表示这个方程:

函数f = complexf(t,y) f = y *t + 2*i;结束

那么，分离实部和虚部的代码是

函数阵线= imaginaryODE (t,青年志愿)由实分量和虚分量构造Y = yv(1) + i*yv(2);%评估函数yp = complexf (t、y);分别返回实数和虚数分量阵线=[真实(yp);图像放大(yp)];结束

当你运行解算器获得解时，初始条件y0还分为实部和虚部，为每个解分量提供初始条件。

y0 = 1 + i;yv0 =[真实(y0);图像放大(y0)];Tspan = [0 2];[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

一旦你得到了解，把实分量和虚分量结合起来，就可以得到最终的结果。

Y = yv(:，1) + i*yv(:，2);

基本求解器的选择

数值可以很好地解决大多数ODE问题，通常应该是您的首选求解器。然而,ode23，ode78，ode89而且ode113能比数值对于精度要求较松或较紧的问题。

一些ODE问题的展示刚度，或评价困难。刚度是一个难以精确定义的术语，但一般来说，当问题中某个地方的比例不同时，就会出现刚度。例如，如果一个ODE有两个解分量，它们在不同的时间尺度上变化很大，那么这个方程可能是刚性的。如果非刚性求解器(例如数值)无法解决问题或速度极慢。如果您观察到非刚性求解器非常慢，请尝试使用刚性求解器，如ode15s代替。当使用刚性求解器时，可以通过提供雅可比矩阵或其稀疏模式来提高可靠性和效率。

该表提供了关于何时使用每种不同求解器的一般指南。

解算器	问题类型	精度	什么时候使用
`数值`	该方法	媒介	大多数时候是这样。`数值`应该是你尝试的第一个解。
`ode23`		低	`ode23`能比`数值`在粗公差问题，或在中等刚度存在。
`ode113`		低到高	`ode113`能比`数值`在有严格误差容限的问题上，或者当ODE函数的评估成本很高时。
`ode78`		高	`ode78`能比`数值`对于精度要求较高的光滑解问题。
`ode89`		高	`ode89`能比`ode78`在非常光滑的问题上，当积分时间间隔很长，或者当公差特别紧的时候。
`ode15s`	僵硬的	低到中等	试一试`ode15s`当`数值`失败或效率低下，你怀疑问题很棘手。也使用`ode15s`在求解微分代数方程(DAEs)时。
`ode23s`		低	`ode23s`能比`ode15s`在粗糙的容错问题上。它可以解决一些棘手的问题`ode15s`不是有效的。 `ode23s`计算每一步的雅可比矩阵，因此提供雅可比矩阵via是有益的`odeset`最大化效率和准确性。如果有一个质量矩阵，它必须是常数。
`ode23t`		低	使用`ode23t`如果问题只是中等刚度，你需要一个没有数值阻尼的解决方案。 `ode23t`能解微分代数方程。
`ode23tb`		低	就像`ode23s`,`ode23tb`求解器可能比`ode15s`在粗糙的容错问题上。
`ode15i`	全隐式	低	使用`ode15i`对于完全隐式问题f (t、y, y”)＝0对于索引为1的微分代数方程。

有关何时使用每种求解器的详细信息和进一步建议，请参见[5]．

ODE示例和文件摘要

有几个可用的示例文件可以作为大多数ODE问题的优秀起点。运行微分方程的例子应用程序，它可以让你轻松地探索和运行示例，键入

odeexamples

要打开单个示例文件进行编辑，请键入

编辑exampleFileName.m

要运行一个示例，输入

exampleFileName

该表包含可用的ODE和DAE示例文件以及它们使用的求解器和选项的列表。还包含了示例子集的链接，这些示例也直接发布在文档中。

示例文件	解算器使用	选项指定	描述	文档链接
`amp1dae`	`ode23t`	`“质量”`	刚性DAE -具有恒定奇异质量矩阵的电路	求解刚性晶体管微分代数方程
`ballode`	`ode23`	`“事件”` `“OutputFcn”` `“OutputSel”` `“完善”` `“InitialStep”` `“MaxStep”`	简单的活动地点-弹跳球	歌唱活动的位置
`batonode`	`数值`	`“质量”`	具有时间和状态相关质量矩阵的ODE -棒的运动	解抛向空中的接力棒运动方程
`brussode`	`ode15s`	`“JPattern”` `矢量化的`	刚性大问题-化学反应中的扩散(布鲁塞尔)	解决刚性常微分方程
`burgersode`	`ode15s`	`“质量”` `“MStateDependence”` `“JPattern”` `“MvPattern”` `“RelTol”` `“AbsTol”`	具有强状态相关质量矩阵的ODE - Burgers方程用移动网格技术求解	求解具有强状态相关质量矩阵的ODE
`fem1ode`	`ode15s`	`“质量”` `“MStateDependence”` `的雅可比矩阵`	刚性问题的时变质量矩阵-有限元法	- - - - - -
`fem2ode`	`ode23s`	`“质量”`	刚性问题的定质量矩阵-有限元法	- - - - - -
`hb1ode`	`ode15s`	- - - - - -	刚性ODE问题在很长的时间间隔上得到了解决-罗伯逊化学反应	- - - - - -
`hb1dae`	`ode15s`	`“质量”` `“RelTol”` `“AbsTol”` `矢量化的`	从守恒定律-罗伯逊化学反应得到的刚性线性隐式DAE	半显式微分代数方程求解Robertson问题
`ihb1dae`	`ode15i`	`“RelTol”` `“AbsTol”` `的雅可比矩阵`	僵硬，完全隐式DAE - Robertson化学反应	用隐式微分代数方程(DAEs)求解Robertson问题
`iburgersode`	`ode15i`	`“RelTol”` `“AbsTol”` `的雅可比矩阵` `“JPattern”`	隐式ODE系统- Burgers方程	- - - - - -
`kneeode`	`ode15s`	`非负的`	非负性约束的“膝盖问题”	非负的颂歌的解决方案
`orbitode`	`数值`	`“RelTol”` `“AbsTol”` `“事件”` `“OutputFcn”`	高级事件定位-限制三体问题	歌唱活动的位置
`rigidode`	`数值`	- - - - - -	非刚性问题-无外力刚体的欧拉方程	解决该常微分方程
`vdpode`	`ode15s`	`的雅可比矩阵`	可参数化的范德波尔方程(大的刚性μ）	解决刚性常微分方程