反馈回路的稳定性

稳定性通常意味着所有内部信号保持有界。这是控制系统的标准要求，以避免失控和设备损坏。对于线性反馈系统，稳定性可以通过观察闭环传递函数的极点来评估。以SISO反馈循环为例:

图1: SISO反馈回路。

对于单位环路增益k，可以计算闭环传递函数T使用:

特遣部队([G =。5 1.3]，[1 1.2 1.6 0]);T =反馈(G, 1);

得到…的极点T、类型

极(T)

Ans = -0.2305 + 1.3062i -0.2305 - 1.3062i -0.7389 + 0.0000i

反馈循环k = 1是稳定的，因为所有极点的实部都是负的。

稳定有多稳定?

检查闭环极点给我们一个稳定性的二元评估。在实践中，更有用的是了解稳定性的强健(或脆弱)程度。鲁棒性的一个指标是在稳定性丧失之前环路增益可以改变多少。你可以用根轨迹图来估计的范围k循环稳定的值:

rlocus (G)

点击轨迹与y轴相交的点表明这个反馈循环是稳定的

这个范围表明k = 1，在失去稳定性之前，环路增益可以增加270%。

增益和相位裕度

环路增益的变化只是鲁棒稳定性的一个方面。一般来说，不完善的植物模型意味着增益和相位都不准确。由于建模误差在增益交叉频率附近(开环增益为0dB的频率)最具破坏性，因此在该频率下可以容忍多少相位变化也很重要。

相位裕度测量在增益交叉频率处需要多少相位变化才能失去稳定性。同样，增益裕度测量在增益交叉频率处失去稳定性所需的相对增益变化。这两个数字一起给出了闭环稳定性的“安全裕度”的估计。稳定性裕度越小，稳定性越脆弱。

您可以在波德图上显示增益和相位裕度，如下所示。首先创建情节:

波德(G)、网格

然后，右键单击绘图并选择最小稳定裕度子菜单。最后，单击蓝点标记。最终结果如下图所示:

这表明增益裕度约为9 dB，相位裕度约为45度。相应的闭环阶跃响应表现出约20%的超调和一些振荡。

步骤(T)、标题(“k=1时的闭环响应”）

如果我们增加增益k = 2，稳定裕度约为

(通用、Pm) =利润率(2 * G);GmdB = 20 * log10(通用)在dB中获得%的利润点%相位裕度(以度为单位)

GmdB = 2.7435 Pm = 8.6328

闭环响应有很差的阻尼振荡，这是接近不稳定的迹象。

(2 * G, 1)步骤(反馈),标题(“k=2时的闭环响应”）

具有多重增益或相位交叉的系统

有些系统有多个增益交叉或相位交叉频率，这导致多个增益或相位裕度值。例如，考虑反馈循环

图2:多相位交叉反馈回路

闭环响应k = 1是稳定的:

7 [1] G =特遣部队(20日)*特遣部队(3.2 - 7.2[1],[1 -1.2 - 0.8])*特遣部队([1 8 400],[700]33);T =反馈(G, 1);步骤(T)、标题(“k=1时的闭环响应”）

为了评估这个循环的稳健稳定性，可以画出它的波德响应:

波德(G)、网格

然后，右键单击绘图并选择所有稳定裕度子菜单显示所有交叉频率和相关的稳定裕度。结果图如下所示。

注意，有两个180度相位交叉，对应的增益裕度为-9.35dB和+10.6dB。负增益裕度表明通过减小增益失去了稳定性，而正增益裕度表明通过增加增益失去了稳定性。这可以通过绘制增益变化约为±6dB的闭环阶跃响应图来证实k = 1：

k1 = 2;T1 =反馈(G * k1, 1);k2 = 1/2;T2 =反馈(G * k2, 1);步骤(T)“b”T1,“r”, T2,‘g’12)、联想(“k = 1”，“k = 2”，“k = 0.5”）

图中显示，增益值越小，振荡越高。

可以使用该命令allmargin计算所有的稳定裕度。注意，增益边际用增益比率表示，而不是dB。使用mag2db将值转换为dB。

m = allmargin(G) GainMargins_dB = mag2db(m. gainmargin)

m = struct with fields: GainMargin: [0.3408 3.3920] GMFrequency: [1.9421 16.4807] PhaseMargin: 68.1140 PMFrequency: 7.0776 DelayMargin: 0.1680 DMFrequency: 7.0776 Stable: 1 GainMargins_dB = -9.3510 10.6091