航天器动力学模块入门

这个例子展示了如何用模型来模拟航天器或航天器星座的六自由度刚体动力学航天器动力学从Aerospace Blockset中获取块。

航天器动力学块利用数值积分对航天器的平动和旋转动力学进行建模。它计算一个或多个航天器随时间变化的位置、速度、姿态和角速度。为了得到最准确的结果，使用低公差设置的可变步长求解器(小于1e-8)。根据你的任务要求，你可以通过使用更大的公差来提高速度。这样做可能会影响解的准确性。

将轨道状态定义为轨道元素的集合或位置和速度状态向量。为了传播轨道状态，块使用为当前中心体选择的重力模型。该块还包括作为输入块提供的外部加速度和力。

使用四元数、方向余弦矩阵(dcm)或欧拉角定义姿态状态。为了传播姿态状态，块使用力矩作为块的输入和块上定义的质量属性。

本文档介绍了块上可用的各种选项和配置，解释了如何建模航天器星座，并给出了一个示例Simulink模型，该模型实现航天器动力学块用于近地观测卫星。最后，给出了块所使用的方程。

块描述

的航天器动力学可以在Simulink库浏览器(Aerospace Blockset . exe)中找到 $\to$ 宇宙飞船 $\to$ 航天器动力学)，或者在Simulink模型画布上的快速插入对话框中输入“航天器动力学”。本节提供了块上可用选项的概述，从Simulink属性检查器(在建模选项卡,在设计)．

主要选项卡

的主要TAB包含块级配置参数。此选项卡上的所有参数适用于块中定义的每个航天器。

您可以指定是否包括:

身体力量在主体框架中定义
身体时刻定义在Body帧端口
外部的加速度,在轨道传播中包含不包含在块内部计算中的扰动加速度。默认情况下，块计算并使用中心身体重力进行轨道传播(参见中央的身体选项卡下文)。你可以在传播中包含的一些额外的扰动加速度的例子是由于大气阻力、第三体重力和太阳辐射压力。您可以在惯性坐标系(ICRF)或固定坐标系中提供摄动加速度，这取决于设置的值外部加速度坐标系．有关每个中心主体使用的固定框架坐标系的更多信息，请参见块参考页面的坐标系统部分。

状态向量输出坐标系控制来自块的位置和速度状态输出是在惯性(ICRF)还是固定帧坐标系中。

您还可以指定是否从块输出总惯性加速度，它总是在惯性框架中。这个值是总加速度，包括内部计算的中心身体重力，以及提供给块作为输入的身体力和外部加速度的贡献。注意，加速输出端口仅用于诊断。将此信号作为输入返回到块中不是一个有效的工作流。

开始日期/时间初始日期/时间是否与Simulink模型启动时间相对应 $t_{0}$ ．它是块上提供的所有初始条件的假设epoch。您可以选择输出当前日期/时间从块中输出一个时间信号以在模拟的其他地方使用。

质量选项卡

有三种质量类型可用于模拟航天器的质量特性:固定，简单的变量,自定义变量．

当质量类型是固定，质量和惯性张量保持在规定的值恒定质量而且惯性张量在整个模拟。质量流量和惯性变化率等于零。

当质量类型是简单的变量，采用了一种简单的方法来改变模拟过程中航天器的质量特性。

一个初始质量，空的质量(干),完整的质量(湿)定义。质量流量通过输入端口(dm / dt)．对该值进行积分，计算仿真过程中每个时间步的当前质量。

类似地，在此配置中，您为空和满航天器配置提供惯性张量值。电流张量由之间的线性插值近似空的惯性张量而且完整的惯性张量根据当前的质量值。

您可以选择添加另一个输入端口( $V_{{再保险}_{b}}$ )向块体提供使用参数的质量流量相对速度包括质量流量相对速度．这个相对速度在主体框架中提供。它被用来计算由于质量从航天器上被消融或增加而产生的力贡献。

当当前质量低于空质量或高于满质量值时，要限制提供给块的质量流量速率，使用参数当质量为空或满时限制质量流量．

最后，可以从块输出当前燃料状态(燃料状态)以当前质量为基础。如果当前质量超过完整的质量时，上报状态为1。如果当前质量低于空的质量，状态为-1。当质量在提供的工作范围内时，状态为0。

当质量类型是自定义变量，对于航天器的质量特性如何随时间变化提供了更大的灵活性。然而，这需要从外部块计算更多的值。

在此配置中，为当前质量添加块输入端口(米，电流惯性张量(我)，惯性张量的当前变化率(dI / dt）．

为了提供质量流相对速度，您可以选择添加另一个输入端口( $V_{{再保险}_{b}}$ )用包括质量流量相对速度参数。这个相对速度在主体框架中提供。它被用来计算由于质量从航天器上被消融或增加而产生的力贡献。因此，启用此参数将向块添加一个额外的端口，以提供质量流速(dm / dt)．

轨道选项卡

的轨道TAB将航天器的初始条件定义为轨道元素集或取决于的位置和速度状态向量初始状态的格式（轨道要素，ICRF状态向量,或固定架状态向量)．

对于状态向量选项，提供对应的初始位置和速度开始日期/时间在指定的坐标系中。

的初始状态的格式选项轨道要素是否进一步按参数分解轨道类型．

当轨道类型是开普勒定律的，你指定传统的六开普勒轨道元素集合:

半轴（ $一个$ ）
偏心（ $e$ ）
倾向（ $我$ ）
上升节点的右经点-RAAN（ $Ω$ ）
近拱点的参数（ $ω$ ）
真正的异常（ $ν$ )．

当指定轨道元素时，有三种轨道类型会导致未定义的元素:

当轨道是赤道轨道(倾角等于零)时，RAAN是未定义的。
当轨道为圆形(偏心距为零)时，未定义周点参数和真异常。
当轨道是圆的时候而且赤道的三个元素都没有定义。

为了帮助对这些条件建模，块提供了三个额外的选项轨道类型除了开普勒定律的．

对于非圆(椭圆)赤道轨道，倾角总是等于零，和RAAN而且近拱点的参数被替换成近拱点的经度．尖周经度为ICRF x轴(I)与尖周夹角。它等于RAAN ( $Ω$ )和围尖症的论点( $ω$ )．

对于圆形倾斜(非赤道)轨道，偏心率总是等于零，和近拱点的参数而且真正的异常取而代之的是论点的纬度．纬度参数是上升节点与卫星位置矢量之间的夹角。它等于真实异常的总和( $ν$ )和围尖症的论点( $ω$ )．

最后，对于圆赤道轨道，倾角和偏心距总是等于零，和RAAN，近拱点的参数,真正的异常取而代之的是真正的经度。真经度是ICRF x轴(I)和航天器位置矢量之间的角度。等于真实异常的和( $ν$ )，围尖症的论证( $ω$ )和RAAN ( $Ω$ )．

态度选项卡

的的态度TAB定义了被建模航天器姿态的初始条件。使用参数姿态参考坐标系，您可以根据惯性(ICRF)帧、固定帧、东北向下(NED)帧或局部垂直局部水平(LVLH)帧定义姿态。假定提供给块的初始姿态和身体角速率参数是根据指定帧定义的。从块输出的姿态和身体角速率也使用这个帧。

要指定对姿态使用什么表示方法，请使用态度表示参数。取决于所选的值最初的态度参数显示为最初的四元数，最初的扩张型心肌病,或最初的欧拉角．它期望所提供的初始条件的维度与该表示相匹配。此外，来自块的姿态输出端口使用指定的表示。

初始姿态变化率，初始体角速率PQR，和相应的输出端口( $ω$ )总是定义为角速率，无论选择为什么态度表示．

您还可以指定是否输出总惯性角加速度（ $\dot{ω}$ )。这个输出总是根据惯性(ICRF)帧定义的。如果包括重力梯度力矩选择时，此值是由力矩作为块的输入产生的总角加速度，以及内部计算的重力梯度力矩。注意，角加速度输出端口仅用于诊断。将此信号作为输入返回到块中不是一个有效的工作流。

如果启用，重力梯度转矩计算将中心体视为球形体。由于重力梯度扭矩的整体贡献很小。对于大多数应用来说，将中心物体视为球形通常就足够了。如果需要更高的精度，重力梯度扭矩值可以在外部计算，并作为力矩提供给块。参见下面的块方程部分，了解由块实现的方程。

中央体标签

使用中央的身体TAB，提供有关物理性质、引力势模型和天体方向的信息，航天器在其轨道周围运行。我们太阳系中的所有行星都是可用的，包括地球的月亮(Luna)。还可以定义自定义中心主体。首先，看看参数的各种选项引力势模型（没有一个，质点，扁椭球(J2),球面谐波)．

没有一个可用于所有中心机构。这个选项在系统方程中不包括任何内部计算的重力加速度。如果你有自己想要使用的重力模型，可以将此选项与外部加速度输入端口结合使用。当使用选项没有一个有一个定制的中心身体，只有行星旋转速度是必需的。

质点可用于所有中心机构。这种方法将中心物体视为一个质点，并使用牛顿万有引力定律计算重力加速度。当使用选项质点对于自定义的中心主体，您必须提供赤道半径，压扁，重力参数（ $μ$ ),和行星旋转速度．

扁椭球(J2)可用于所有中心机构。这个选项包括二级扰动效应，纬向谐波重力系数， $J_{2}$ ，占中心体的扁率。当使用选项扁椭球(J2)对于自定义的中心主体，您必须提供赤道半径，压扁，重力参数（ $μ$ )，二次纬向谐波(J2),行星旋转速度．

球面谐波仅当将中心体设置为时可用地球，月亮，火星,或自定义．的球面谐波模型下表列出了每个中心机构的可用选项:

的值也必须指定学位这低于所选球面调和模型所支持的最大程度。每个模型的推荐和最大度值如下:

当使用选项球面谐波自定义中心体，必须提供行星旋转速度,一个球面谐波系数文件(.mat),学位．有关该文件的更多信息，请参见航天器动力学块引用页面。

该块使用的所有行星常数都来自NASA喷气推进实验室的行星和月球蜉蝣DE405。

所有J2常数值都来自NASA空间科学数据协调档案(NSSDCA)。

如果需要替换常量值，请使用自定义选择中央的身体。

除了重力，还有中央的身体TAB包含关于中心物体方向的信息。可用的参数取决于当前的选择中央的身体。所有中心机构地球，月亮,自定义使用行星旋转极和子午线的定义国际天文学联合会/国际天文学联合会工作组关于地图坐标和旋转要素的报告:2006年．下面将讨论特定于地球、月球和自定义的选项。

当中央的身体是地球，块使用的固定帧坐标系是ITRF。默认情况下，ICRF和ITRF之间的转换使用提供给参数的地球方向参数(EOP)数据IERS EOP数据文件．要生成最新的EOP数据文件，请使用Aerospace Toolbox函数aeroReadIERSData ()．该函数调用IERS数据服务器，并将最新的EOP数据保存到mat文件中。若要从转换中排除地球方向参数数据，请清除使用地球方向参数(EOPs)．

当中央的身体是月亮，可以通过选择提供月球振动角作为块的输入输入月球振动角．当选择这个选项时，一个输入端口被添加到块中。在这种情况下，在模拟的每个时间步提供了用于固定帧和ICRF之间转换的振动角。方法可以计算振动角月球天平动块。当使用振动角时，固定坐标系为月亮为平均地球/极轴坐标系(ME)。该框架通过两个变换实现。首先，块将ICRF帧中的值转换为主轴系统(PA)，这是由作为块输入的振动角定义的轴。然后，块使用固定的旋转将状态转换到ME系统IAU/IAG工作组关于地图坐标和旋转要素的报告:2006年．如果输入月球振动角复选框被清除时，固定框架由旋转极点的方向和定义的质点子午线定义国际天文学联合会/国际天文学联合会工作组关于地图坐标和旋转要素的报告:2006年．

当中央的身体是自定义，根据参数值的不同，向块体提供旋转极和子午线数据有两种选择中心体自旋轴源．要在每个时间步向块提供当前赤纬度、赤纬度和旋转速率值作为输入，请将源设置为港口．要提供J2000 (jd2451545.0，即2000年1月1日12小时TDB)的赤纬、赤纬和旋转角的初始条件，以及每个值对应的变化率，请将源设置为对话框．这些参数与文献中的术语和方程一致国际天文学联合会/国际天文学联合会工作组关于地图坐标和旋转要素的报告:2006年．

最后，对于所有中心体，您可以选择输出一个四元数，通过选择执行从ICRF到固定帧的位置转换输出四元数(ICRF到固定帧)．

单位选项卡

的单位选项卡定义了单位系统角的单位（度或弧度)，以及块使用的时间格式。

当时间格式是朱利安日期，开始日期/时间和块可选时间输出端口使用标量朱利安日期值。当设置为格雷戈里，两个值都是格式为[年，月，日，时，分，秒]的1x6数组。每个参数选项对应的单位单位在下表中列出。块上的每个参数和端口标签中的期望单元将自动更新单位是改变。

卫星星座建模

到目前为止，我们已经用航天器动力学块。然而，该块也可以配置为模拟卫星/航天器星座。所模拟的航天器数量是由所提供的初始条件的大小决定的。中为参数提供了多个值质量，轨道,或的态度选项卡，该块输出一个卫星星座。提供单一值的任何参数都将展开并应用于星座中的所有卫星。例如，如果为块上除真正的异常其中包含6个值，创建了一个由6个卫星组成的星座，只改变真正的异常。

此行为适用于所有航天器初始条件(中的所有对话框)质量，轨道,或的态度选项卡)。的初始条件参数质量，轨道,或的态度选项卡必须包含一个扩展到所有附属项的值或6个单独的值，每个附属项对应一个值。

同样的扩展行为也适用于块输入端口。所有输入端口均支持扩展预计月球天平动角 $φ θ ψ$ (当中央的身体是月亮)和自旋轴赤经，赤纬，旋转角 $α δ W$ (当中央的身体是自定义)．月球振动角和自旋轴方向输入是与时间相关的值，因此总是适用于所有被建模的航天器。所有其他端口接受扩展到所有被建模航天器的单个值，或应用到每个航天器的单个值(在上面的例子中为6)。

模拟月球轨道

为了演示这种端口扩展行为，考虑一个新的场景，在这个场景中，我们有一对沿着轨道轨道相隔200公里的月球探测器。每颗卫星都独立于其他卫星运行，因此每颗卫星都受到不同的力和力矩作用。然而，我们想把地球的引力影响作为两颗卫星的扰动加速度。我们假设地球在月球轨道上200公里的引力加速度差可以忽略不计。我们的结果块如下所示。

每个卫星都有独立的力和力矩输入值，但是一个单独的外部加速度输入被扩展并应用到两个航天器上。如上所述，月球振动角 $φ θ ψ$ 总是spacecraft-independant。

来自块的状态输出总是匹配被建模航天器的总数，其中行与单个航天器对应。该块还有两个依赖于时间的输出，即当前时间 $t_{utc}$ 以及从惯性系到固定系的转换 $问_{icrf2ff}$ ．

仿真软件模型示例

现在，探索一个使用航天器动力学块模拟地球观测卫星的示例模型。

mdl =“SpacecraftDynamicsBlockExampleModel”；open_system (mdl);

该卫星在近圆形低地球轨道(LEO)上，高度约500公里。对于轨道传播，我们使用地球球面谐波模型EGM2008，度数设置为120。我们使用默认文件中的地球朝向参数数据aeroiersdata.mat，这是包含在航空航天工具箱。卫星质量特性是固定的，质量为1kg，简单的惯性张量为 $［ \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} ］$ ．任务开始日期为2020年1月1日12:00:00，持续6小时。

为了提供姿态控制，我们使用态度概要块，连接到一个简单的PD控制器。我们想要的姿态使卫星体对齐z带地理坐标的轴 $［ 42^{\circ} ， {- 71}^{\circ} ］$ 在10米的高度。对于我们的次要约束，我们对齐主体-x轴的y-轴的local-vertical, local-horizontal (LVLH)框架。在(近)圆的轨道上yLVLH框架的-轴指向卫星的运动方向。当我们每次扫过我们感兴趣的地理点时，这种对齐使我们的卫星指向“前方”。你也可以使用态度概要块将卫星与地球最低点、不同的地理位置、JPL蜉蝣DE405中的天体或作为块输入提供的任何自定义矢量对齐。

该模型包括一个Simulink 3D动画世界，配置为可视化1U立方体卫星。默认情况下，此块被注释掉，因为它需要Simulink 3D动画。要启用可视化并更改可视化属性，请双击该块。

该模型还具有从航天器动力学块连接到一个瞄准镜的线性和角加速度输出。不要将这些输出作为模拟循环的一部分。我们的惯性线性加速度在整个模拟过程中是平稳的，这是预期的，因为我们没有执行任何平移(delta-V)机动。在角加速度图中，我们观察到经过我们感兴趣的地理点与较大的加速度值相吻合。当我们直接通过感兴趣的点(第一次通过)时，所需的角速度变化要比我们以较浅的角度通过感兴趣的点(后续通过)时大得多。

块方程

现在我们研究由块实现的方程，以便更好地理解块如何计算每个时间步的输出值。

平移系统方程

平移运动受以下约束:

${\vec{一个}}_{icrf} ＝ {\vec{一个}}_{中央身体重力} + body2inertial （ \frac{\vec{F_{b}}}{米} ） + {\vec{一个}}_{应用}$

${\vec{一个}}_{icrf} \underset{集成}{⟹} {\vec{v}}_{icrf} ， {\vec{r}}_{icrf}$

地点:

${\vec{一个}}_{中央身体重力}$ 是基于当前块参数选择的中心体重力。

${\vec{一个}}_{应用}$ 是提供给块外部加速输入端口的用户定义加速。

$\vec{F_{b}}$ 是物体坐标系中的物体力，相对于ICRF坐标系(惯性)。

$米$ 当前航天器的质量(见?质量方程下文)。

$body2inertial （）$ 为旋转体-固定坐标系向惯性ICRF坐标系的转换，由力产生的加速度贡献如下: $body2inertial （ \frac{\vec{F_{b}}}{米} ）＝ {\vec{一个}}_{{icrf}_{部队}} ＝ quatrotate （问_{b2icrf} ， {\vec{一个}}_{b} ）$

地点:

${\vec{一个}}_{b} ＝ \frac{{\vec{F}}_{b}}{米} ＝ \frac{{\vec{F}}_{b_{输入}} + \dot{米} {\vec{v}}_{再保险}}{米}$

${\vec{r}}_{b} ＝ quatrotate （问_{icrf2b} ， {\vec{r}}_{icrf} ）$

${\vec{F}}_{b_{输入}}$ 是提供给块体力输入端口的力。

${\vec{v}}_{再保险}$ 为相对速度，此时质量流( $\dot{米}$ )相对于body框架从body坐标系中的body弹出或添加到body中。

$问_{icrf2b}$ 为物体相对于惯性ICRF框架的被动四元数旋转。

${\vec{ω}}_{icrf2b}$ 是物体相对于惯性ICRF坐标系的角速度。

旋转系统方程

旋转运动由:

${\dot{\vec{ω}}}_{icrf2b} ＝［ \vec{米_{b}} - {\vec{ω}}_{icrf2b} \times （我_{妈妈} {\vec{ω}}_{icrf2b} ） - {\dot{我}}_{妈妈} {\vec{ω}}_{icrf2b} ］发票（我_{妈妈} ）$

${\dot{\vec{ω}}}_{icrf2b} \underset{集成}{⟹} {\vec{ω}}_{icrf2b} ， \vec{问_{icrf2b}}$

地点:

$我_{妈妈} ＝［ \begin{array}{c} 我_{xx} & - 我_{xy} & - 我_{xz} \\ - 我_{yx} & 我_{yy} & - 我_{yz} \\ - 我_{zx} & - 我_{zy} & 我_{zz} \end{array} ］$ 惯量张量是关于物体原点的(看到了吗质量部分下文)。

${\dot{我}}_{妈妈}$ 惯量张量的变化率(见质量部分下文)。

$发票（）$ 是3x3矩阵的逆。

$\vec{米_{b}} ＝ {\vec{米}}_{b_{输入}} + 米_{b_{重力梯度}}$ 为整体力矩，由提供给块体力矩输入端口的值和内部计算的重力梯度力矩组成:

$米_{b_{重力梯度}} ＝ \frac{3. μ}{r_{b}^{5}} {\vec{r}}_{b} \times 我_{妈妈} {\vec{r}}_{b}$

$μ$ 为中心物体的标准引力参数。

四元数向量变化率的积分计算为:

$［ \begin{array}{c} \dot{问_{0}} \\ \dot{问_{1}} \\ \dot{问_{2}} \\ \dot{问_{3.}} \end{array} ］＝［ \begin{array}{c} 0 & ω_{b} （ 1 ） & ω_{b} （ 2 ） & ω_{b} （ 3. ） \\ {- ω}_{b} （ 1 ） & 0 & {- ω}_{b} （ 3. ） & ω_{b} （ 2 ） \\ {- ω}_{b} （ 2 ） & ω_{b} （ 3. ） & 0 & {- ω}_{b} （ 1 ） \\ {- ω}_{b} （ 3. ） & - ω_{b} （ 2 ） & ω_{b} （ 1 ） & 0 \end{array} ］［ \begin{array}{c} 问_{0} \\ 问_{1} \\ 问_{2} \\ 问_{3.} \end{array} ］$

Aerospace Toolbox和Aerospace Blockset使用使用标量优先约定定义的四元数。

质量

质量 $米$ ，质量流量 $\dot{米}$ 惯性张量, $我_{妈妈}$ 和惯性张量的变化率 ${\dot{我}}_{妈妈}$ 在上述系统中所用的方程都是根据当前参数的选择来确定的质量选项卡。

`固定`

该方案将航天器建模为一个固定质量的刚体。

$米$ 质量是否提供了参数质量在质量选项卡。

$\dot{米}$ 等于零。

$我_{妈妈}$ 是否为参数提供了惯性张量惯性张量在质量选项卡．

${\dot{我}}_{妈妈}$ 等于零。

`简单的变量`

该方案将航天器建模为一个简单的、变质量刚体。

$米$ 质量是否有边界 $米_{完整的}$ 而且 $米_{空}$ ，积分计算 $\dot{米}$ ．

$\dot{米}$ 提供给块的dm / dt输入端口。

$我_{妈妈} ＝ \frac{我_{完整的} - 我_{空}}{米_{完整的} - 米_{空}} （米 - 米_{空} ） + 我_{空}$

${\dot{我}}_{妈妈} ＝ \frac{我_{完整的} - 我_{空}}{米_{完整的} - 米_{空}} \dot{米}$

`自定义变量`

该方案将航天器建模为可变质量刚体，提供最高级别的可配置性。

$米$ 提供给块吗米输入端口。

$\dot{米}$ 提供给块吗dm / dt输入端时包括质量流量相对速度启用，否则系统方程不需要该值。

$我_{妈妈}$ 提供给块吗我输入端口。

${\dot{我}}_{妈妈}$ 提供给块吗dI / dt输入端口。

中央身体重力

由身体中心重力引起的加速度 ${\vec{一个}}_{中央身体重力}$ 的当前参数选择计算中央的身体选项卡。对于包含非球形加速度项的重力模型(扁椭球(J2)而且球面谐波)，非球形重力是在固定框架坐标系中计算的(在地球的情况下是ITRF)。然而，数值积分总是在惯性ICRF坐标系中进行。因此，在每个时间步中，将位置和速度状态转化为固定坐标系，在固定坐标系中计算非球重力，然后将得到的加速度转化为惯性坐标系。在惯性系中，将得到的加速度与其他加速度项相加，并进行双积分，求出速度和位置。

`质点`(适用于所有中央机构)

这种选择将中心物体视为一个点质量，只包括使用牛顿万有引力定律的球形引力的影响。

${\vec{一个}}_{中央身体重力} ＝ - \frac{μ}{{r_{icrf}}^{2}} \frac{{\vec{r}}_{icrf}}{r_{icrf}}$

`扁椭球(J2)`(适用于所有中央机构)

除了球形重力，这个选项还包括二级摄动效应，纬向谐波重力系数， $J_{2}$ ，占中心体的扁率。 $J_{2}$ 主要是由于中心物体的引力偏离了完美球体。

${\vec{一个}}_{中央身体重力} ＝ - \frac{μ}{{r_{icrf}}^{2}} \frac{{\vec{r}}_{icrf}}{r_{icrf}} + fixed2inertial （ {\vec{一个}}_{nonspherical} ）$

地点:

$\begin{array}{l} {\vec{一个}}_{nonspherical} ＝｛［ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} U - \frac{{r_{ff}}_{k}}{r^{2} \sqrt{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}}} \frac{\partial}{\partial ϕ} U ］ {r_{ff}}_{我} ｝我 \\ + ｛［ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} U + \frac{{r_{ff}}_{k}}{r^{2} \sqrt{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}}} \frac{\partial}{\partial ϕ} U ］ {r_{ff}}_{j} ｝ j \\ + ｛ \frac{1}{r} （ \frac{\partial}{\partial r} U ） r_{k} + \frac{\sqrt{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}}}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial ϕ} U ｝ k \end{array}$

给定球坐标下的偏导数:

$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial r} U ＝ \frac{3. μ}{r^{2}} {（ \frac{R_{cb}}{r} ）}^{2} P_{2 ， 0} ［罪（ ϕ ）］ J_{2} \\ \frac{\partial}{\partial ϕ} U ＝ - \frac{μ}{r} {（ \frac{R_{cb}}{r} ）}^{2} P_{2 ， 1} ［罪（ ϕ ）］ J_{2} \end{array}$

地点:

$ϕ$ 而且 $λ$ 卫星是以经纬度为中心的吗

$P_{2 ， 0}$ 而且 $P_{2 ， 1}$ 是相关的勒让德函数吗

$R_{cb}$ 中心物体是赤道半径吗

$fixed2inertial （）$ 将固定帧位置、速度和加速度转换为原点位于中心物体中心的ICRF坐标系，其中包括离心加速度和科里奥利加速度。有关每个中心体使用的固定和惯性坐标系的更多信息，请参阅航天器动力学块引用页面。用于地球的固定坐标系是ITRF。

`球面谐波`(适用于地球，月球，火星，自定义)

这个选项通过包括考虑纬向、扇形和几何形谐波的高阶摄动效应增加了保真度。作为参考，二阶零阶纬向谐波 $J_{2}$ 是 $- C_{2 ， 0}$ ．球面谐波模型考虑了最大程度的谐波 $l ＝ l_{马克斯}$ ，根据中心体和位势模型的不同而不同。

${\vec{一个}}_{中央身体重力} ＝ - \frac{μ}{r^{2}} \frac{\vec{r_{icrf}}}{r} + fixed2inertial （ {\vec{一个}}_{nonspherical} ）$

地点:

$\begin{array}{l} {\vec{一个}}_{nonspherical} ＝｛［ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} U - \frac{{r_{ff}}_{k}}{r^{2} \sqrt{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}}} \frac{\partial}{\partial ϕ} U ］ {r_{ff}}_{我} - ［ \frac{1}{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}} \frac{\partial}{\partial λ} U ］ {r_{ff}}_{j} ｝我 \\ + ｛［ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} U + \frac{{r_{ff}}_{k}}{r^{2} \sqrt{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}}} \frac{\partial}{\partial ϕ} U ］ {r_{ff}}_{j} + ［ \frac{1}{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}} \frac{\partial}{\partial λ} U ］ {r_{ff}}_{我} ｝ j \\ + ｛ \frac{1}{r} （ \frac{\partial}{\partial r} U ） {r_{ff}}_{k} + \frac{\sqrt{{r_{ff}}_{我}^{2} + {r_{ff}}_{j}^{2}}}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial ϕ} U ｝ k \end{array}$

给定球坐标下的偏导数:

$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial r} U ＝ - \frac{μ}{r^{2}} \sum_{l ＝ 2}^{l_{马克斯}} \sum_{米＝ 0}^{l} {（ \frac{R_{cb}}{r} ）}^{l} （ l + 1 ） P_{l ，米} ［罪（ ϕ ）］｛ C_{l ，米} 因为（米 λ ） + {年代}_{l ，米} 罪（米 λ ）｝ \\ \frac{\partial}{\partial ϕ} U ＝ \frac{μ}{r} \sum_{l ＝ 2}^{l_{马克斯}} \sum_{米＝ 0}^{l} {（ \frac{R_{cb}}{r} ）}^{l} ｛ P_{l ，米 + 1} ［罪（ ϕ ）］ - （米）棕褐色（ ϕ ） P_{l ，米} ［罪（ ϕ ）］｝｛ C_{l ，米} 因为（米 λ ） + {年代}_{l ，米} 罪（米 λ ）｝ \\ \frac{\partial}{\partial λ} U ＝ \frac{μ}{r} \sum_{l ＝ 2}^{l_{马克斯}} \sum_{米＝ 0}^{l} {（ \frac{R_{cb}}{r} ）}^{l} （米） P_{l ，米} ［罪（ ϕ ）］｛ {年代}_{l ，米} 因为（米 λ ） - C_{l ，米} 罪（米 λ ）｝ \end{array}$

$P_{l ，米}$ 是相关的勒让德函数。

$C_{l ，米}$ 而且 ${年代}_{l ，米}$ 是非归一化谐波系数。

参考文献

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另请参阅

航天器动力学