最小化凸区域上的凸函数
凸优化是在凸约束下最小化凸目标函数的过程,或等价地,在凸约束下最大化凹目标函数的过程。对于许多凸优化问题,可以有效地找到满足局部最优条件的点。由于局部最优点也是全局最优点,因此找到一个局部最优点就足以解决问题。非凸问题的凸近似提供了最优目标值和近似解的边界。
下图显示了凸优化和非凸优化问题的示例。
凸优化的应用被发现在金融和工程,包括投资组合优化,设计优化,参数估计,信号处理和最优控制。例如,根据基准投资组合的风险上限和跟踪误差,选择股票投资组合以最大化收益的问题可以表述为凸优化问题。
凸优化是寻找一个向量\(x\)使函数最小化的数学问题:
$ $ min_ f (x) $ $ {x}
主题:
\(g_i (x)≤0 \)(非线性不等式约束)
\(Ax≤b\)(线性不等式约束)
\(A_{eq} x=b_{eq}\)(线性等式约束)
\(lb≤x≤ub\)(绑定约束)
其中\(g_i,i = 1,…,m\)为凸函数。