理解Bode plot,第3部分:简单系统
从系列:了解波德图
学习如何在这个MATLAB中建立一阶系统的波德图®Carlos Osorio的Tech Talk。波德图描述了一个动态系统的频率响应,并显示了系统响应的大小和相位作为对数刻度频率的函数。您将学习如何交互设计波德图来研究添加极点和零对频率响应的影响。
我们刚刚看到,MATLAB中像Bode这样的函数可以直接从系统的输入输出传递函数的动态方程,快速轻松地创建频率响应图。作为控制工程师的关键不仅仅是能够创建这些图。重要的是要很好地理解这些幅度和相位轨迹告诉我们关于系统行为和稳定性的信息。
博德图谱最初是由亨德里克·博德(Hendrik Bode)博士开发的,因此得名。20世纪30年代,也就是第二次世界大战之前,他在贝尔实验室工作。这家伙是一个杰出的控制工程师,他提出了,在当时是开创性的想法使用渐近幅值和相位图来促进稳定性分析和频域控制系统设计。
记住,这是在计算机出现之前,所以我猜当时的工程师只能用滑动尺,用它们手工计算对数。渐近方法背后的思想非常简单,但是非常强大。它们将帮助我们更好地理解这些地块是如何实际建造的。
最简单的结构是一个纯积分器,它对应于拉普拉斯域中的1/s。如果用jw代替s,函数G就变成了负虚轴上的向量。负的,因为分子分母同时乘以-1的平方根。
这个矢量的相位角恒定为-90度,大小为1/w。注意,当频率从0到∞时,矢量的模从∞到0。用db表示,分数的log等于分子的log,在这里是1,减去分母的log,在这里是w。
我们知道log1等于0。所以这部分消失了波德图的幅值轨迹变成了一条直线,因为我们在横轴上画它表示log (w)注意,这条直线的斜率是- 20db /单位,这在这里是一个频率十年。相位保持恒定和-90度,与频率无关。
相反,如果我们看一个纯微分器,它在拉普拉斯域中只对应s,因为w在分子上。在这种情况下,震级将是一条直线,以每十年+20 db的斜率上升。相是恒定的正90度。
现在让我们开始我们的第一个艺术构造,比如一个时间常数为tau的单极。如果我们想看频率响应,我们需要用jw代替s。这个向量的大小是log1,它趋于0,减去20乘以分母的大小的对数。
第一印象,这看起来很难画。但如果你用渐近的方式来考虑这个表达式,把这个图分成两部分当频率远远低于极点时,在这种情况下,低于1/,每秒辐射度乘以w会变得非常小,数字1会主导表达式。
注意,这使得G变得接近1/1,这将是实轴上的一个向量。这意味着相将非常接近于0,它的大小的对数也将非常接近于0。当频率远高于极点时,*w将成为主导,在这种情况下,G变得接近于一个负的纯虚向量。这意味着相位将接近-90度,量级的对数将接近一条直线,以每十年-20度的速度滚动,并越过零点,在那里w等于1/。
注意,实际的波德图与我们的渐近近似几乎没有偏离。显然,我们会看到在1/的临界值附近最大的差别。从图中,我们还可以看到相位角大约需要20年才能移动90度。所以如果你想在角度上更精确一点,我们可以假设相位在极点值前后每十年下降45度。
使用相同的方法,我们可以看到一个0将导致类似的跟踪。只有在这种情况下,因为0在分子上,相位会移动+90度,磁体的斜率是+20 db / decade。
在这一点上,我想让您感受一下这一切是如何以一种更具交互性的方式工作的。我们现在看到的是恒定传递函数为1的波德图。系统G,在这里,等于1。这意味着log1,也就是0分贝的大小和0度的相位,因为它是一个正实数。
我们看看加一个杆会发生什么。假设接近1弧度每秒。我们可以看到这个数量级图是如何以每十年-20 db的速度分解的。相移到-90度。
如果我向右或向左移动极点,使它变快或变慢,我所做的就是改变这种频率。我们擦掉这个极点,然后加一个0。正如预期的那样,现在我们看到星等的正断裂和相位的+90。注意,纯0的模在高频处趋于无穷。
这是非常不受欢迎的行为,因为除了其他不好的事情之外,它很可能会放大我们系统中的各种高频噪声。通常情况下,如果你有一个纯微分器或者一个0,它总会至少伴随着一个在频率范围上的极点来把增益树拉下来。
由于图表的叠加,记住乘法在对数刻度上变成了和。
0的+ 20db的斜率被极点的- 20db的斜率抵消了。与相位类似,0的+90度被极点的-90度向下拉。如果我想要在更高的频率上有一些衰减,我所需要做的就是在第一个极点附近添加另一个极点。现在利率的作用变成了- 20 db / 10年。
如果你想要更陡的下降但频率更高,只要再加一个极点,砰,每十年零下40度。不管怎样,我想你会同意这个交互设计工具比计算尺和图表纸好得多。我不知道你们怎么想,但我相信Bode博士,顺便说一下,他花了很多年在河对岸的哈佛教授控制,他一定会爱上MATLAB的。
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