今天我要讲的是三个伟大的偏微分方程中的第一个。这个叫做拉普拉斯方程,以拉普拉斯命名。你会看到偏导。我们有——我没时间了。这个方程处于稳态。有x和y,在xy平面上。x和y的二阶导数,我要求方程的解。
当然我得到了一些边界值。所以现在时间不多了。边界的值,边界在xy平面上,可能是一个圆。考虑xy平面上的圆。在圆上,我知道解u。
圆的边界值是已知的。我要求出圆内的温度u。所以我知道边界上的温度。我让它静下来,我想知道里面的温度。美妙之处在于,它解出了基本的偏微分方程。
我们来找一些解。它们可能与边界值不匹配,但我们可以使用它们。所以u等于常数当然可以解这个方程。U = x,二阶导数为0。U = y,这个更好,x方- y方。x方向上的二阶导数是2。y方向上的二阶导数是- 2。我有2 - 2,它解了方程。
或者这个,x的二阶导数是0。y的二阶导数是0,这是简单的解。但这只是几个解我们需要一个无穷序列因为我们要满足边界条件。
这里面有规律吗?这是0次,常数。它们是1次线性的。它们是二次的。所以我希望是两个立方的。然后我希望有两个四度的。这就是规律,这就是规律。让我来找出立方的。X³,如果从X³开始,X的二阶导可能是6x。要求y ' = - 6x。 And I think minus 3xy squared does it. The second derivative in y is 2 times the minus 3x is minus 6x, cancels the 6x from the second derivative there, and it works. So that fits the pattern, but what is the pattern?
在这儿。棒极了。我用x + iy的不同次方得到了这些疯狂的多项式。这里的一次方,如果n = 1,我有x + iy,我取实部,就是x,所以我要取这个的实部。当n = 1时,实部为x。
当n = 2时呢?你能在脑子里想清楚吗?我们有x方和i方y方,i方等于- 1。有x²和- y²。看,当n = 2时,x + iy²的实部,实部是x²- y²。虚部是2ixy。所以乘以i的虚部是2xy。这是n = 2时的规律。
当n = 3时,取x + iy³,它从x³开始。然后我想另一个实数部应该是a - 3xy²。我想你应该检查一下。然后会有一个虚部。我想我可以算出虚部。也许是- 3x²- y³,就像这样。当n = 3时,这是实部这是虚部。
很好,很好,它适用于所有幂,指数n,所以我现在有了一个相当大的解家族。一个列表,一个双列表,每个n的实部和虚部,所以我可以用它们来求解u,也就是我在寻找的圆内温度。
当然,我有一个线性方程。所以如果我有几个解,我可以把它们组合起来,我仍然有一个解。X + 7y是一个解。加上11x²- y²,没问题。加上56乘以2xy。这些都是解。所以我要找到一个解,我的最终解u是这个,这个,这个,这个,这个,这个的组合,以及所有其他的n,这就是我的解。我需要这个无限的家庭。看,偏微分方程,我们得到无限解族而不仅仅是几个零解。
我举个例子。让我举个例子。我们把这个区域画成一个圆。在这个圆中,我在寻找u (x, y)的解,实际上在圆中,用极坐标是很自然的。x和y不在xy平面的圆内,它的方程涉及到x =√(1 - y²)或者其他什么,我将切换到极坐标r和。
你可能会说你记得我们有这些不错的解族。在极坐标下还好吗?事实是,它甚至更好。所以u的解是实部和虚部。那么x + iy在r和中的值是多少?我们都知道x等于rcos加上ir sin。这是r乘以Cos加上isin,一个令人难忘的复欧拉公式,e的i次方。
现在,我需要它的n次方。它的n次方很好。n次方的实部和虚部是r ^ n e ^ in。这是x + iy ^ n。在极坐标中就更好了,因为我可以直接取实部和虚部。它是r ^ n Cos n和r ^ n sin n。
这就是我的解,拉普拉斯方程的一长串解。它是这些的某个组合,最后的东西将是这些的某个组合,某个组合。也许系数a下标n,我可以用这些,也可以用这些。所以可能是bnr ^ n sin n。你可能想知道我在做什么,但我已经做到了,就是找到拉普拉斯方程的通解。
而不是常微分方程中的两个常数,C1和C2,这里我让它们从∞到∞。N趋于无穷。所以我有很多解。任何组合都可以,这就是通解。这是通解。我必须匹配它,这是最后一步,并不简单,也不总是简单,我必须匹配它和边界条件。这当然会告诉我们常数。和往常一样,c1和c2来自于条件的匹配。
现在我不仅仅有c1和c2,我还有a的无限族,b的无限族。我要匹配的还有很多因为在边界上,我要匹配已知的u0。假设有u0等于上半部分的温度等于1。在下半部分,假设温度是- 1。这是个典型的问题。
我有一个圆形区域。上半部分在一个温度下保存,下半部分在不同的温度下保存。我达到平衡。大家都知道沿着这条线,根据对称性,温度可能是0。但是一旦温度上升到一半,就不容易了,或者在任何地方。答案是u在中间,u (r和)在里面由这个公式给出。同样的,ANs和bn是通过在边界上得到正确答案来实现的。
这里有一个很大的理论我如何匹配它们?这叫做傅里叶级数。这叫做傅里叶级数。我在寻找傅里叶级数的系数,a和B,在边界附近匹配函数。我可以匹配任何函数,傅里叶级数是另一个完全不同的视频。
我们已经用圆上的拉普拉斯方程做过了。我们把这个问题简化成了傅里叶级数的问题。我们已经找到了通解。然后将它匹配到一个特定的给定边界值,这是一个傅里叶级数问题。所以我要把它放到傅里叶级数的视频里。谢谢你!
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