焊接梁的优化设计

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这个例子展示了如何检查梁的强度和成本之间的权衡。一些出版物使用这个例子作为各种多目标算法的测试问题，包括Deb等人[1]和Ray和Liew[2]。

有关此示例的视频概述，请参见多目标优化的Pareto集．

问题描述

下面的小品改编自Ray and Liew[2]。

这张草图描绘的是焊接在基板上的横梁。梁支撑着荷载P在远处l从底物。梁是焊接到基板上的上、下焊缝，每个长度l和厚度h．梁的横截面为矩形，宽度为矩形b,和高度t．梁的材料是钢。

这两个目标是梁的制造成本和梁在施加荷载下的挠度P．负载P是6000磅，距离是多少l固定在14英寸。

设计变量为:

x (1) =h，焊缝厚度
x (2) =l，焊缝长度
x (3) =t，梁的高度
x (4) =b，即光束的宽度

梁的制造成本与梁中材料的数量成正比， $（ l + l ） t b$ ，加上焊缝中的材料量， $l h^{2}$ ．利用引用论文中的比例常数，第一个目标是

$F_{1} （ x ）＝ 1 ． 10471 x_{1}^{2} x_{2} + 0 ． 04811 x_{3.} x_{4} （ 14 + x_{2} ）．$

梁的挠度正比于P和成反比 $b t^{3.}$ ．再次，使用引用论文中的比例常数，第二个目标是

$F_{2} （ x ）＝ \frac{P}{x_{4} x_{3.}^{3.}} C$ ,在那里 $C ＝ \frac{4 （ 14 ）^{3.}}{3. 0 \times 1 0^{6}} \approx 3. ． 6587 \times 1 0^{- 4}$ 而且 $P ＝ 6 ， 000$ ．

这个问题有几个限制条件。

焊缝厚度不能超过梁的宽度。在符号中，x(1) <= x(4)。在工具箱的语法:

Aineq = [1, 0, 0, 1];bineq = 0;

剪切应力 $τ （ x ）$ 焊接时不能超过13600 psi。为了计算剪切应力，首先计算出初步表达式:

$τ_{1} ＝ \frac{1}{\sqrt{2} x_{1} x_{2}}$

$R ＝ \sqrt{x_{2}^{2} + （ x_{1} + x_{3.} ）^{2}}$

$τ_{2} ＝ \frac{（ l + x_{2} / 2 ） R}{\sqrt{2} x_{1} x_{3.} （ x_{2}^{2} / 3. + （ x_{1} + x_{3.} ）^{2}}$

$τ （ x ）＝ P \sqrt{τ_{1}^{2} + τ_{2}^{2} + \frac{2 τ_{1} τ_{2} x_{2}}{R}} ．$

综上所述，焊缝剪切应力具有约束条件 $τ （ x ）$ < = 13600。

正常的压力 $σ （ x ）$ 焊缝上的压力不能超过30000 psi。法向应力是 $P \frac{6 l}{x_{4} x_{3.}^{2}} \leq 3. 0 \times 1 0^{3.}$ ．
垂直方向的屈曲载荷能力必须超过施加载荷6000磅。利用杨氏模量的值 $E ＝ 3. 0 \times 1 0^{6}$ psi和 $G ＝ 12 \times 1 0^{6}$ ，屈曲载荷约束是 $\frac{4 ． 01 3. E x_{3.} x_{4}^{3.}}{6 l^{2}} （ 1 - \frac{x_{3.}}{2 l} \sqrt{\frac{E}{4 G}} ） \geq 6000$ ．从数字上讲，这就变成了不等式 $64 ， 746 ． 022 （ 1 - 0 ． 0282 3. 46 x_{3.} ） x_{3.} x_{4}^{3.} \geq 6000$ ．
变量的边界为0.125 <=x(1) <= 5, 0.1 <=x(2) <= 10, 0.1 <=x(3) <= 10, 0.125 <=x(4) <= 5。在工具箱的语法:

磅= (0.125,0.1,0.1,0.125);乌兰巴托=[5、10、10、5];

目标函数出现在本例的函数末尾objval (x)．非线性约束出现在这个例子的最后nonlcon (x)．

多目标问题的制定和`paretosearch`解决方案

你可以用以下几种方法优化这个问题:

设定一个最大挠度，在满足最大挠度约束的设计上找到一个单目标最小的制造成本。
设定最大制造成本，并在满足制造成本约束的设计上找到一个单目标最小偏差。
解决一个多目标问题，将两个目标之间的权衡可视化。

为了使用多目标方法，提供更多关于问题的信息，设置目标函数和非线性约束函数。

有趣= @objval;nlcon = @nonlcon;

用paretosearch与“psplotparetof”图的功能。若要减少诊断显示信息的数量，请设置显示选项“关闭”．

opts_ps = optimoptions (“paretosearch”，“显示”，“关闭”，“PlotFcn”，“psplotparetof”）;rng默认的%的再现性[x_ps1 fval_ps1, ~, psoutput1] = paretosearch (Aineq有趣,4日,bineq,[],[],磅,乌兰巴托,nlcon, opts_ps);

disp ("总功能计数:"+ psoutput1.funccount);

总功能计数:1870

为了更平滑的帕累托正面，尝试使用更多的点。

《不扩散核武器条约》= 160;%默认为60opts_ps。ParetoSetSize = npts; [x_ps2,fval_ps2,~,psoutput2] = paretosearch(fun,4,Aineq,bineq,[],[],lb,ub,nlcon,opts_ps);

disp ("总功能计数:"+ psoutput2.funccount);

总功能计数:6254

这个解决方案看起来是一个更平滑的曲线，但它有一个较小的范围的目标2。当使用160个帕累托点而不是60个时，求解器需要3倍多的函数计算。

`gamultiobj`解决方案

要查看求解器是否有不同，请尝试gamultiobj解决这个问题。设置与上一个解决方案中相同的选项。因为gamultiobj求解器在最佳帕累托前沿保留不到一半的解，使用比以前多两倍的点。

opts_ga = optimoptions (“gamultiobj”，“显示”，“关闭”，“PlotFcn”，“gaplotpareto”，“PopulationSize”, 2 *不扩散核武器条约》);[x_ga1 fval_ga1, ~, gaoutput1] = gamultiobj (Aineq有趣,4日,bineq,[],[],磅,乌兰巴托,nlcon, opts_ga);

disp ("总功能计数:"+ gaoutput1.funccount);

总功能计数:38401

gamultiobj需要成千上万的函数求值，而paretosearch只需要成千上万。

比较方案

的gamultiobj解决方案似乎不同于paretosearch解，虽然很难分辨因为标绘的比例尺不同。用相同的比例尺将两个解画在相同的图上。

fps2 = sortrows (fval_ps2 1“提升”）;图保存在情节(fps2 (: 1) fps2 (:, 2),的r -) fga = sortrows(fval_ga1,1，“提升”）;情节(fga (: 1), fga (:, 2),“b——”) xlim([0,40]) ylim([0,1e-2]) legend(“paretosearch”，“gamultiobj”)包含“成本”ylabel“偏差”持有从

的gamultiobj解决方案最好是在最右边的部分，而paretosearch溶液最好放在最左边的部分。paretosearch使用更少的函数求值来获得它的解。

通常，当问题没有非线性约束时，paretosearch至少和gamultiobj．然而，得到的帕累托集可能有一些不同的范围。在这种情况下，非线性约束的存在导致paretosearch解决方案在部分范围内精度较低。

的主要优点之一paretosearch它通常需要更少的函数求值。

从单一目标解决方案开始

为了帮助求解者找到更好的解，可以从单个目标函数的解最小化的点开始求解。的pickindex函数返回一个目标objval函数。使用fmincon寻找单一目标的最优。然后将这些解作为多目标搜索的初始点。

x0 = 0(2、4);X0f = (lb + ub)/2;opts_fmc = optimoptions (“fmincon”，“显示”，“关闭”，“MaxFunctionEvaluations”1 e4);x0 (1) = fmincon (@ (x) pickindex (x, 1), x0f, Aineq, bineq,[],[],磅,乌兰巴托,@nonlcon, opts_fmc);x0 (2) = fmincon (@ (x) pickindex (x, 2), x0f, Aineq, bineq,[],[],磅,乌兰巴托,@nonlcon, opts_fmc);

检查单目标最优。

: objval (x0 (1))

ans =1×22.3810 - 0.0158

: objval (x0 (2))

ans =1×276.7188 - 0.0004

最小成本是2.381，偏差为0.158。最小挠度为0.0004，代价为76.7253。所绘制的曲线在其范围的末端相当陡峭，这意味着如果你的成本略高于其最小值，你就会得到更小的偏差，或者如果你的偏差略高于其最小值，你就会得到更小的成本。

开始paretosearch从单目标解。因为你以后会在同一个图上画解，所以去掉paretosearch图的功能。

opts_ps。InitialPoints = x0;opts_ps。PlotFcn = []; [x_psx0,fval_ps1x0,~,psoutput1x0] = paretosearch(fun,4,Aineq,bineq,[],[],lb,ub,nlcon,opts_ps); disp("总功能计数:"+ psoutput1x0.funccount);

总功能计数:4839

开始遗传算法从相同的初始点出发，并去掉它的函数图。

opts_ga。InitialPopulationMatrix = x0;opts_ga。PlotFcn = []; [~,fval_ga,~,gaoutput] = gamultiobj(fun,4,Aineq,bineq,[],[],lb,ub,nlcon,opts_ga); disp("总功能计数:"+ gaoutput.funccount);

总功能计数:37441

把解画在相同的坐标轴上。

fps = sortrows (fval_ps1x0 1“提升”）;图保存在情节(fps (: 1), fps (:, 2),的r -) fga = sortrows(fval_ga,1，“提升”）;情节(fga (: 1), fga (:, 2),“b——”) xlim([0,40]) ylim([0,1e-2]) legend(“paretosearch”，“gamultiobj”)包含“成本”ylabel“偏差”持有从

从单目标解开始，gamultiobj解决方案稍好于paretosearch在标绘范围内的解。然而,gamultiobj需要几乎十倍的函数计算才能得到它的解。

混合函数

gamultiobj可以调用杂化函数吗fgoalattain自动地尝试得到一个更精确的解。看看混合函数是否改善了解决方案。

opts_ga。HybridFcn =“fgoalattain”；[xgah fval_gah, ~, gaoutputh] = gamultiobj (Aineq有趣,4日,bineq,[],[],磅,乌兰巴托,nlcon, opts_ga);disp ("总功能计数:"+ gaoutputh.funccount);

总函数数:57478

fgah = sortrows (fval_gah 1“提升”）;图保存在情节(fps (: 1), fps (:, 2),的r -)情节(fga (: 1) fga (:, 2),“b——”)情节(fgah (: 1) fgah (:, 2),“g -”) xlim([0,40]) ylim([0,1e-2]) legend(“paretosearch”，“gamultiobj”，“gamultiobj / fgoalattain”)包含“成本”ylabel“偏差”持有从

混合函数在gamultiobj解，主要在图的最左边。

运行`fgoalattain`手动的`paretosearch`解决方案分

虽然paretosearch没有内置的混合功能，可以改进吗paretosearch解决方案通过运行fgoalattain从paretosearch点的解决方案。制定目标和权重fgoalattain通过使用相同的设置fgoalattain中描述的gamultiobj混合函数．

Fmax = max (fval_ps1x0);nobj =元素个数(Fmax);Fmin = min (fval_ps1x0);w = sum((Fmax - fval_ps1x0)。/(1 + Fmax - Fmin)，2);p = w.*((Fmax - fval_ps1x0)。/(1 + Fmax - Fmin));xnew = 0(大小(x_psx0));nsol =大小(xnew, 1);fvalnew = 0 (nsol nobj);opts_fg = optimoptions (“fgoalattain”，“显示”，“关闭”）;nfv = 0;为2 = 1: nsol xnew (ii):), fvalnew (ii):), ~, ~,输出]= fgoalattain(有趣,x_psx0 (ii):), fval_ps1x0 (ii):), p (ii):).．.Aineq bineq,[][],磅,乌兰巴托,nlcon, opts_fg);nfv = nfv + output.funcCount;结束disp (fgoalachieve函数计数:"+ nfv)

函数计数:14049

fnew = sortrows (fvalnew 1“提升”）;图保存在情节(fps (: 1), fps (:, 2),的r -)情节(fga (: 1) fga (:, 2),“b——”)情节(fgah (: 1) fgah (:, 2),“g -”)情节(fnew (: 1) fnew (:, 2),“k -”) xlim([0,40]) ylim([0,1e-2]) legend(“paretosearch”，“gamultiobj”，“gamultiobj / fgoalattain”，“paretosearch / fgoalattain”)包含“成本”ylabel“偏差”

的结合paretosearch而且fgoalattain创造最精确的帕累托前沿。放大看看。

Xlim ([3.64 13.69]) ylim([0.00121 0.00442])持有从

即使加上额外的费用fgoalattain计算时，组合的总函数计数不到的函数计数的一半gamultiobj独自解决方案。

流(" gamultiobj单独的总函数计数为%d.\n"+.．.“对于paretosearch和fgoalattain，它是%d.\n”，.．.gaoutput。funccount nfv + psoutput1x0.funccount)

gamultiobj单独的函数总数是37441。为paretosearch和fgoal together是18888。

从Plot中找到好的参数

所绘制的点显示了函数空间中的最佳值。为了确定实现这些函数值的参数，找出梁的尺寸和焊缝的尺寸，以获得特定的成本/挠度点。例如，情节paretosearch紧随其后的是fgoalattain显示点代价约为6，偏转约为3.5e-3。确定梁的尺寸和焊缝达到这些点。

whichgood =找到(fvalnew (: 1) < = 6 & fvalnew (:, 2) < = 3.5 e - 3);goodpoints =表(xnew (whichgood:), fvalnew (whichgood:)“VariableNames”, {“参数”“目标”})

goodpoints =4×2表参数的目标  ________________________________________ ___________________ 0.63457 - 1.5187 10 0.67262 5.6974 0.0032637 0.61635 1.5708 0.63165 5.391 0.0034753 0.63228 1.5251 10 0.6674 5.6584 0.0032892 0.65077 1.4751 0.70999 5.976 0.0030919

四组参数实现了成本小于6和偏转小于3.5e-3:

焊缝厚度略大于0.6
焊缝长度约1.5
梁高10(上限)
波束宽度介于0.63和0.71之间

客观约束与非线性约束

函数[Cineq,测查]= nonlconσ(x) = 5.04 e5。/ (x(:, 3)。^ 2。* x (:, 4));P_c = 64746.022 * (1 - 0.028236 * x(:, 3))。* x(:, 3)。* x(:, 4)。^ 3;tp = 6 e3. /√(2)/ (x(: 1)。* x (:, 2));tpp = 6 e3. /√(2). * (14 + 0.5 * x(:, 2))。* sqrt (0.25 * (x(:, 2)。^ 2 + (x (: 1) + x (:, 3)) ^ 2)) / (x(: 1)。* x(:, 2)。* (x(:, 2)。^2 / 12 + 0.25*(x(:，1) + x(:，3)).^2));τ=√tp。^ 2 + tpp。^ 2 + (x(:, 2)。* tp。* tpp)。/ sqrt (0.25 * (x(:, 2)。^2 + (x(:，1) + x(:，3)).^2)));Cineq = [tau - 13600,sigma - 3e4,6e3 - P_c];测查= [];结束函数F = objval f1 (x) = 1.10471 * x(: 1)。^ 2。* x(:, 2) + 0.04811 *(:, 3)。* x(:, 4)。* (14.0 + x (:, 2));f2 = 2.1952. / (x(:, 3)。^ 3。* x (:, 4));F = (f1、f2);结束函数Z = pickindex(x,k) Z = objval(x);%评估两个目标z = z (k);返回目标k %结束

参考文献

[1] Deb, Kalyanmoy, J. Sundar, Udaya Bhaskara Rao N和Shamik Chaudhuri。基于参考点的进化算法多目标优化．《计算智能研究》，Vol. 2, No. 3, 2006, pp. 273-286。可以在https://www.softcomputing.net/ijcir/vol2-issu3-paper4.pdf

[2]雷，T.和K. M.刘。多目标设计优化的群算法．工程优化，2002,pp.141-153。