디폴트설정으로pcg를사용하여정사각선형시스템을풀고풀이과정에사용된허용오차및반복횟수를조정합니다。

희소형식의대칭확률행렬一个를만듭니다。또한 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$우변의一个행합으로구성된벡터b를만들어참(正确)해 $\mathit{x}$가1로구성된벡터가되도록합니다。

rng默认的A = sprand(400,400，.5);A = A'*A;b = sum(A,2);

pcg를사용하여 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$를풉니다。출력@ @시에는상대잔차오차 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$의값이포함됩니다。

x = pcg(A,b);

PCG在迭代20处停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为达到了最大迭代次数。返回的迭代(数字20)有相对残差3.6e-06。

기본적으로pcg는20회반복과1 e-6의허용오차를사용하는데이알고리즘으로는이행렬에대해20회의반복내에수렴할수없습니다。그러나잔차가허용오차에가깝기때문에알고리즘이수렴하려면반복횟수만더추가하면될것같습니다。

1 e -의허용오차와150회의반복으로시스템을다시풉니다。

x = pcg(A,b,1e, 7150);

PCG在迭代129收敛到相对残差为9.9e-08的解。

pcg에선조건자행렬을사용하여선형시스템을푸는효과를검토합니다。

양의정부호대칭행렬，대역계수행렬을만듭니다。

A = delsq(numgrid(“年代”, 102));

선형방정식 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$의 우변에b를정의합니다。

b = ones(size(A,1)，1);

허용오차와최대반복횟수를설정합니다。

Tol = 1e-8;Maxit = 100;

pcg를사용하여청된허용오차와반복횟수로해를구합니다。풀이과정에대한정보를반환하는5개의출력값을지정합니다。

[x,fl0,rr0,it0,rv0] = pcg(A,b,tol,maxit);fl0

Fl0 = 1

rr0

Rr0 = 0.0131

it0

It0 = 100

pcg가청된100회반복횟수이내에청된허용오차1 e-8로수렴하지않으므로fl0은1이됩니다。

이러한느린수렴을개선할수있도록선조건자행렬을지정할수있습니다。一个는대칭행렬이므로ichol을사용하여선조건자 $\mathit{米}＝\mathit{l}{\mathit{l}}^{\mathit{T}}$를생성합니다。l과L '를pcg에대한입력값으로지정하여선조건이적용된시스템을풉니다。

L = ichol(A);[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = pcg(A,b,tol,maxit,L,L');fl1

Fl1 = 0

rr1

Rr1 = 8.0992e-09

it1

It1 = 79

ichol선조건자를사용한결과79번째반복에서미리정해진허용오차1 e-8보다작은상대잔차가생성됩니다。출력값rv1 (1)은规范(b)이고rv1(结束)는规范(b * x1)입니다。

이제michol옵션을사용하여수정된불완전촐레스키선조건자를만듭니다。

L = ichol(A,struct(“michol”，“上”));[x2,fl2,rr2,it2,rv2] = pcg(A,b,tol,maxit,L,L');fl2

Fl2 = 0

rr2

Rr2 = 9.9614e-09

it2

It2 = 47

이선조건자는이예제에서0채우기로불완전촐레스키분해를계수행렬에적용하여생성된것보다낫기때문에pcg가더빠르게수렴할수있습니다。

초기추정값(반복번호0)에서시작하여각잔차내역을플로팅해선조건자가pcg의수렴속도에미치는향을파악할수있습니다。지정된허용오차에대한선을추가합니다。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) semilogy(0:长度(rv2) 1, rv2 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，“默认ICHOL”，“修改ICHOL”，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

pcg에해의초기추측값을제공하는효과를검토합니다。

삼중대각희소행렬을만듭니다。 $\mathit{x}$의예상해가1로구성된벡터가되도록각행의합을 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$의우변에대한벡터로사용합니다。

N = 900;E = ones(n,1);A = spdigs ([e 2*e]，-1:1,n,n);b = sum(A,2);

pcg를사용하여 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$를두번풉니다。한번은디폴트초기추측값을사용하여풀고,다른한번은해에대한양호한초기추측값을사용하여풉니다。두해모두에200회의반복과디폴트허용오차를사용합니다。모든소가0.99로이루어진벡터로두번째해의초기추측값을지정합니다。

Maxit = 200;x1 = pcg(A,b，[]，maxit);

PCG在迭代35时收敛到相对残差为9.5e-07的解。

X0 = 0.99*e;x2 = pcg(A,b，[]，maxit，[]，[]，x0);

PCG在迭代7收敛到相对残差为8.7e-07的解。

이예제에서는초기추측값을제공한결과pcg가더빨리수렴되었습니다。

x0 = 0 (size(A,2)，1);Tol = 1e-8;Maxit = 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X(:，k) = X;R(k) = relres;X0 = x;结束

pcg에계수행렬一个대신* x를계산하는함수핸들을제공하여선형시스템을풉니다。

画廊를사용하여20×20양의정부호삼중대각행렬을생성합니다。상부대각선과하부대각선은1을가지며주대각선소는20에서1로카운트다운됩니다。행렬을미리봅니다。

N = 20;画廊(“tridiag”的(n - 1, 1), n: 1:1,的(n - 1, - 1));完整的(一个)

ans =20×2020 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 18 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

이삼중대각행렬은특수한구조를갖고있으므로연산* x를함수핸들로나타낼수있습니다。一个에벡터를곱할때결과벡터의대부분의소는0입니다。결과에있는0이아닌소는一个의0이아닌삼중대각소에해당합니다。또한주대각선에만0과1이아닌소가있습니다。

通讯录현식 $\mathrm{斧头}$는다음과같이@ @현됩니다。

$［\begin{array}{cccccccccc}20.& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 19& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 18& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 17& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 16& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 15& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 14& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 13& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 1\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}］$．

결과벡터는다음과같이세벡터의합으로작성할수있습니다。

$［\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}\end{array}］+［\begin{array}{c}20.{\mathit{x}}_1\\ 19{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\\ 0\end{array}］$．

Matlab®에서이러한벡터를만들어서더하여* x의값을제공하는함수를작성합니다。

函数Y = [0];x (19)) +.．.[(20: 1:1)]。* x +.．.[x(20分);0);结束

(이함수는예제끝에로컬함수로저장되어있습니다)

이제* x를계산하는함수핸들을pcg에제공하여선형시스템 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$를풉니다。허용오차1 e-12및50회반복을사용합니다。

B = ones(20,1);Tol = 1e-12;Maxit = 50;X1 = pcg(@afun,b,tol,maxit)

PCG在迭代20时收敛到相对残差为4.4e-16的解。

x1 =20×10.0476 0.0475 0.0500 0.0526 0.0555 0.0588 0.0625 0.0666 0.0714 0.0769

afun (x1)이1로구성된벡터를생성하는지확합니다。

afun (x1)

ans =20×11.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000

函数Y = [0];x (19)) +.．.[(20: 1:1)]。* x +.．.[x(20分);0);结束