微分方程与线性代数,1.2:你需要的微积分
从这个系列中:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
和法则,乘积法则,链式法则从的导数中得到新的导数xn罪(x),ex。微积分基本定理说积分是导数的倒数。
好吧,我们开始了。我认为我们所知道的值得思考。微积分。微分方程是微积分的重要应用,所以看看微积分的哪些部分,哪些信息和思想,在微分方程中得到了应用是很有趣的。我将向你们展示我所看到的,无论如何,这不是全部,这是一些基本的想法,但不是你们学到的所有细节。所以我并不是说忘记所有这些,而是要专注于重要的事情。
好的。所以你需要的微积分是我的主题。首先,你需要知道基本的导数。x ^ n的导数,sin和cos的导数。首先,e ^ x的导数是e ^ x, e ^ x的导数是e ^ x,这个方程很好,可以用e ^ x解出来Dy / dt = y。
我们得在这方面做更多的工作。指数的反函数是对数。1/x的特殊导数。好的。但是你知道这些。其次,基于这些特定的事实,您可以使用关键规则创建大量函数的导数。
f + g的导数等于f的导数加上g的导数导数是一个线性运算。乘积法则fg ' + gf '商法定则。谁还记得?
最重要的是链式法则。这个函数链的导数,这个复合函数是f对g求导乘以g对x求导,这真的是,这是一个函数链真正打开了我们可以处理的函数链。
好的。然后是基本定理。基本定理涉及到导数和积分。它说一个是另一个的逆运算。函数积分的导数是这样的。
这是y,积分从0到x,我不管哑变量是什么。我可以把哑变量改成t,随便了。我也不在乎来显示虚拟变量。
x是积分的极限。我不会讨论这个基本定理,但它确实很基本,我会用到它。也许那样更好。我马上就用基本定理。
所以,记住上面说的。它说的是,如果你取一个函数,对它积分,求导,就会得到原来的函数。我可以把它应用到——我认为这是微分方程中的一个重要例子。我给你们展示一下我想到的函数。我记作y,表示从0到t的区间。
所以它是t的函数,时间,它是这个的积分,e ^ (t - s)某个函数。这是解基本微分方程的一个很好的公式。
有了这个,方程就解出来了dy / dt = y + q (t)当我看到这个方程的时候我们会再看到它我们会推导出这个公式,但是现在我想用微积分基本定理来验证这个公式。当我们推导公式时,它不会错因为我们的推导是正确的。但是,如果你把它代入微分方程,它就解出来了。
我想对它求导。那是我的工作。这就是为什么我在这里这么做,因为它使用了所有的规则。求导数时,我注意到t出现在原来的位置,它也在积分内。但这是一个简单的函数。
我可以把e ^ t提出来,把e ^ t提出来。e ^ t,有一个函数t乘以另一个关于t的函数。
我要用乘法法则来证明这个乘积的导数是一项是y另一项是q,我可以把乘法法则应用到这个我从帽子里拿出来的函数上吗,你们会再看到的。它是这个乘以这个的乘积。所以dy / dt的导数是,根据乘法法则对它求导,也就是e的。
加上,第一项乘以第二项的导数。现在我用乘法法则。你必须注意到e ^ t出现了两次因为它在这里,它的导数是一样的。它的导数是什么?微积分基本定理。
我们积分了某项,我想对它求导,就得到了这个。得到e ^ (- tq (t))这是基本定理。你能接受吗?
我们来看看我们有什么。第一项是y,就是上面这一项因为当我对第一项求导时,f没有改变,所以还是y,这里是什么?E ^ t乘以E ^ (- t)等于1。
e ^ t约掉了e ^ (- t)剩下q (t)正是我想要的。乘积法则中的两项就是微分方程中的两项。我只是想,正如你们看到的,这里需要基本定理来求出方框里的导数,也就是括号里的。我只是喜欢基本定理的运用。
我们还需要一个微积分的话题。我们开始吧。它涉及到图像的切线。这是图像的正切。
所以这是一条直线,我们需要的是y (t + t)这是任意函数,也许你更愿意叫函数f,一个在t点以上的函数,近似于t点的函数加上修正因为它加上f,对吧?A f。
f的近似是什么?它大约是t乘以t处的导数,这条线上有很多符号,但它表达了微分学中最基本的事实。如果我把f (t)带个负号放到这边,就得到f,如果我除以t,同样的规则说这近似等于df / dt。
这是微积分的基本思想,导数很接近。在t点处,t点处的导数接近f / t,它在很短的时间内变化。这就是切线,因为它开始于这是常数项。它是t的函数,这是斜率。
画一幅图。我在这里画个图。我来画个图,这是e ^ t的图像,开始斜率是1。我在这里画一个斜率。
好的,切线,当然它在这里,而不是下面。切线就是这条线。
这是切线。这是f的近似值,当t等于0时。这里是t = t,你可以看到,如果我向前迈一大步,直线就会离曲线很远。
我们想要更接近。所以接近的方法是我们必须考虑到弯曲。曲线在弯曲。关于弯曲,导数告诉了我们什么?
也就是t²乘以二阶导数。一个一半。结果是1 / 2显示在这里。这一项改变了切线,变成了切线抛物线。它注意到这一点的弯曲。这一点的二阶导数。
所以它向上弯曲。它不完全遵循它,但也一样——比另一个好得多。这是直线。这是抛物线。这是函数。真正的那个。
好的。我就不复习这个理论了,它抽出了1 / 2,但你可以检查一下。最后,如果我们想做得更好呢?我们需要考虑三阶导数,然后是四阶导数,等等,如果我们得到了所有的导数,所有这些都意味着,我们就得到了这个函数因为这是一个很好的函数,e ^ t,我们可以通过知道它的高,斜率,弯曲度和其他所有的项来重建这个函数。
所以还有很多——无穷多项。1 / 2,考虑1 / 2的好方法,1 / 2,就是1 / 2 ! 2乘以1。因为这是1 / n !乘以t ^ n,非常小,乘以函数的n阶导数。然后继续。
这就是以泰勒命名的泰勒级数。一开始有点吓人。这很可怕,因为它有无限多项。这些项变得更复杂了,对于大多数函数,你真的不想计算n阶导数。
对于e ^ t,我不介意计算n阶导数因为它仍然是e ^ t,但通常这不是很实用。——非常实用。切线抛物线,很实用。高阶项,不太实用。
但是这个公式很漂亮,因为你看到了这个模式,这就是数学关于模式的真正意义,这里你看到的是更高的项的模式。它们都符合这个模式当你把所有的项加起来,如果你有一个好的函数,那么近似就会变得完美,你就会得到等式。
在这节课结束之前,假设我们有一个很好的函数。这些都是数学中最好的函数,指数函数当然是其中之一。这就是微积分。微积分的一部分。谢谢你!
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