模拟钟摆周期性摆动的运动gydF4y2Ba

这个例子展示了如何使用符号数学工具箱™来模拟一个简单的摆的运动。推导出摆的运动方程，对小角度进行解析求解，对任意角度进行数值求解。gydF4y2Ba

第一步:推导运动方程gydF4y2Ba

摆是一个遵循微分方程的简单机械系统。钟摆最初处于垂直静止状态。当钟摆移动一个角度时gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 释放后，重力会把它拉回静止位置。它的动量使它超越并形成一个角度gydF4y2Ba $-gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ (如果没有摩擦力)，以此类推。由重力引起的沿摆运动方向的恢复力为gydF4y2Ba $-gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ ．因此，根据牛顿第二定律，质量乘以加速度必须相等gydF4y2Ba $-gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Ba米gydF4y2Ba一个gydF4y2BaggydF4y2Baθ(t)gydF4y2BaEqn = m*a == -m*g*sin(theta)gydF4y2Ba

eqn (t) =gydF4y2Ba
                   $一个gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba -gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$

对于有长度的钟摆gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$ ，摆鲍勃的加速度等于角加速度乘以gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

$一个gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba rgydF4y2Ba \frac{{dgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} θgydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}$ ．gydF4y2Ba

代替gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$ 通过使用gydF4y2Ba潜艇gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BargydF4y2BaEqn = subs(Eqn,a,r*diff(theta,2))gydF4y2Ba

eqn (t) =gydF4y2Ba
                  
                    $米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba \frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba -gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$

孤立角加速度gydF4y2BaeqngydF4y2Ba通过使用gydF4y2Ba隔离gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

Eqn = isolate(Eqn,diff(theta,2))gydF4y2Ba

eqn =gydF4y2Ba
                  
                    $\frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \frac{ggydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba}$

收集常量gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$ 而且gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$ 转换为单个参数，也称为gydF4y2Ba固有频率gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba \sqrt{\frac{ggydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba}}$ ．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Baomega_0gydF4y2BaEqn = s(Eqn,g/r, 0^2)gydF4y2Ba

eqn =gydF4y2Ba
                  
                    $\frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$

步骤2:线性化运动方程gydF4y2Ba

运动方程是非线性的，因此很难解析求解。假设角很小，用泰勒展开将方程线性化gydF4y2Ba $罪gydF4y2Ba θgydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaxgydF4y2Ba近似= taylor(sin(x) x，gydF4y2Ba“秩序”gydF4y2Ba2);近似= subs(近似，x， (t))gydF4y2Ba

约=gydF4y2Ba
                   $θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$

运动方程变成了线性方程。gydF4y2Ba

eqnLinear = subs(eqn,sin((t))，近似)gydF4y2Ba

eqnLinear =gydF4y2Ba
                  
                    $\frac{{\partialgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$

第三步:解析求解运动方程gydF4y2Ba

解方程gydF4y2BaeqnLineargydF4y2Ba通过使用gydF4y2BadsolvegydF4y2Ba．指定初始条件作为第二个参数。通过假设简化解决方案gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 是真正的使用gydF4y2Ba假设gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Batheta_0gydF4y2Batheta_t0gydF4y2BaTheta_t = diff(theta);Cond = [theta(0) == theta_0, theta_t(0) == theta_t0];假设(omega_0gydF4y2Ba“真实”的gydF4y2Ba) thetaSol(t) = dsolve(eqnLinear,cond)gydF4y2Ba

thetaSol (t) =gydF4y2Ba
                  
                    ${θgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} 因为gydF4y2Ba （gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba \frac{{θgydF4y2Ba}_{t0gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{{ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}}$

第四步:物理意义gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$

这个词gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba$ 叫做gydF4y2Ba阶段gydF4y2Ba．cos和sin函数每次都重复gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba$ ．时间需要改变gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba$ 通过gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba$ 称为时间段。gydF4y2Ba

$TgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba \frac{2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba}{{ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}} ＝gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba \sqrt{\frac{rgydF4y2Ba}{ggydF4y2Ba}}$ ．gydF4y2Ba

时间段gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$ 正比于钟摆长度的平方根它与质量无关。对于线性运动方程，时间周期与初始条件无关。gydF4y2Ba

第五步:绘制钟摆运动图gydF4y2Ba

为小角度近似画出钟摆的运动。gydF4y2Ba

定义物理参数:gydF4y2Ba

重力加速度gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba {米/秒gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$
摆长gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba$

gValue = 9.81;rValue = 1;omega_0Value = sqrt(gValue/rValue);T = 2*pi/omega_0Value;gydF4y2Ba

设置初始条件。gydF4y2Ba

theta_0Value = 0.1*pi;gydF4y2Ba%解只适用于小角度。gydF4y2Batheta_t0Value = 0;gydF4y2Ba最初处于静止状态。gydF4y2Ba

将物理参数和初始条件代入通解。gydF4y2Ba

Vars = [omega_0 theta_0 theta_t0];values = [omega_0Value theta_0Value theta_t0Value];thetaSolPlot = subs(thetaSol,vars,values);gydF4y2Ba

画出谐摆运动。gydF4y2Ba

fplot(thetaSolPlot(t* t)/pi， [0 5]);网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba；标题(gydF4y2Ba“谐摆运动”gydF4y2Ba）;包含(gydF4y2Ba“电汇”gydF4y2Ba）;ylabel (gydF4y2Ba“θ/ \ \π”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。标题为“谐波摆运动”的axis对象包含一个functionline类型的对象。gydF4y2Ba

在找到解之后gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ ，想象一下钟摆的运动。gydF4y2Ba

x_pos = sin(thetaSolPlot);y_pos = -cos(thetaSolPlot);fanimator (@fplot x_pos y_pos,gydF4y2Ba“柯”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“MarkerFaceColor”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“k”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“AnimationRange”gydF4y2Ba[0 5 * T]);持有gydF4y2Ba在gydF4y2Ba；fananimator (@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，gydF4y2Ba“k -”gydF4y2Ba)，gydF4y2Ba“AnimationRange”gydF4y2Ba[0 5 * T]);fanimator (@ (t)文本(-0.3,0.3,gydF4y2Ba计时器:“gydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +gydF4y2Ba“s”gydF4y2Ba)，gydF4y2Ba“AnimationRange”gydF4y2Ba[0 5 * T]);gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。axis对象包含3个参数化类型的对象:line, line, text。gydF4y2Ba

输入命令gydF4y2Ba那里gydF4y2Ba播放钟摆运动的动画。gydF4y2Ba

第六步:用恒定能量路径确定非线性摆运动gydF4y2Ba

为了理解摆的非线性运动，可以利用总能量方程来可视化摆的路径。总能量是守恒的。gydF4y2Ba

$EgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba} 米gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} {（gydF4y2Ba \frac{dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba}{dtgydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 因为gydF4y2Ba θgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$

用三角恒等式gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 因为gydF4y2Ba θgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {罪gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 以及这个关系gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba \sqrt{ggydF4y2Ba /gydF4y2Ba rgydF4y2Ba}$ 重写能量的比例。gydF4y2Ba

$\frac{EgydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} ＝gydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba} ［gydF4y2Ba {（gydF4y2Ba \frac{dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba}{dtgydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {（gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba \frac{θgydF4y2Ba}{2gydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ］gydF4y2Ba$

由于能量是守恒的，所以摆的运动可以用相空间中的常能量路径来描述。相空间是一个具有坐标的抽象空间gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 而且gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ ．使用以下命令可视化这些路径gydF4y2BafcontourgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaθgydF4y2Batheta_tgydF4y2Baomega_0gydF4y2BaE(θ,theta_t omega_0) = (1/2) * (theta_t ^ 2 + (2 * omega_0 * sin(θ/ 2))^ 2);Eplot(， theta_t) = subs(E,omega_0,omega_0Value);图;fc = fcontour(Eplot(pi*theta, 2*omega_0Value*theta_t)， 2*[-1 1 -1 1]，gydF4y2Ba.．.gydF4y2Ba“线宽”gydF4y2Ba2,gydF4y2Ba“LevelList”gydF4y2Ba0:5:50,gydF4y2Ba“MeshDensity”gydF4y2Ba1 + 2 ^ 8);网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba；标题(gydF4y2Ba相空间中的恒能量等高线(\theta vs \theta_t)gydF4y2Ba）;包含(gydF4y2Ba“θ/ \ \π”gydF4y2Ba）;ylabel (gydF4y2Ba“\ theta_t / 2 \ omega_0”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。轴对象标题为C o n s ta n t空白E n r g y空白C o n t o u r s空白i n空白P h a s E空白s P a C E空白(空白theta空白v s。blank theta indexOf t baseline blank)包含一个函数轮廓类型的对象。gydF4y2Ba

能量等高线是对称的gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 轴和gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ 轴，它们是周期性的gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 轴。该图显示了两个不同行为的区域。gydF4y2Ba

等高线图中较低的能量会自我闭合。钟摆在两个最大角度和速度之间来回摆动。钟摆的动能不足以克服引力能，使钟摆完成一个完整的循环。gydF4y2Ba

等高线图中较高的能量不会自行闭合。钟摆总是沿一个角度方向运动。钟摆的动能足以克服引力能，使钟摆能绕一个完整的圈。gydF4y2Ba

第七步:求解非线性运动方程gydF4y2Ba

非线性运动方程是二阶微分方程。用数值方法求解这些方程gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba解算器。因为gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba只接受一阶系统，将系统简化为一阶系统。然后，生成作为输入的函数句柄gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

将二阶ODE重写为一阶ODE的系统。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Baθ(t)gydF4y2Batheta_t (t)gydF4y2Baomega_0gydF4y2Ba= [diff(theta) == theta_t;Diff (theta_t) == -omega_0^2*sin(theta)]gydF4y2Ba

方程式(t) =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

eqs = subs(eqs,omega_0,omega_0Value);Vars = [theta, theta_t];gydF4y2Ba

求质量矩阵gydF4y2Ba米gydF4y2Ba和方程的右边gydF4y2BaFgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

[M,F] = massMatrixForm(eqs,vars)gydF4y2Ba

M =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} 1gydF4y2Ba & 0gydF4y2Ba \\ 0gydF4y2Ba & 1gydF4y2Ba \end{array} ）gydF4y2Ba$

F =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ -gydF4y2Ba \frac{981gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \end{array} ）gydF4y2Ba$

米gydF4y2Ba而且gydF4y2BaFgydF4y2Ba请参阅此表格。gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ，gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{dxgydF4y2Ba}{dtgydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba FgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ，gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba$

为了进一步简化计算，将系统改写为以下形式gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba xgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba fgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ，gydF4y2Ba xgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

f = M\ fgydF4y2Ba

f =gydF4y2Ba
                  
                    $（gydF4y2Ba \begin{array}{c} {θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba} （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \\ -gydF4y2Ba \frac{981gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba （gydF4y2Ba θgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \end{array} ）gydF4y2Ba$

转换gydF4y2BafgydF4y2Ba对MATLAB函数句柄进行使用gydF4y2BaodeFunctiongydF4y2Ba．得到的函数句柄是MATLAB ODE求解器的输入gydF4y2Ba数值gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

f = odeFunction(f, vars)gydF4y2Ba

f =gydF4y2BaFunction_handle with value:gydF4y2Ba@ (t, in2) [in2(2:);罪(in2(1:))。* 2./1.0 (-9.81 e + e + 2))gydF4y2Ba

第八步:求解闭合能量轮廓的运动方程gydF4y2Ba

用求解封闭能量轮廓的ODEgydF4y2Ba数值gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

从能量等高线图上看，封闭等高线满足条件gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba} /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} \leqgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba$ ．的初始条件gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 而且gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ 在变量中gydF4y2Bax0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

X0 = [0;1.99 * omega_0Value];gydF4y2Ba

指定0 ~ 10秒的时间间隔。这个间隔使钟摆可以走两个完整的周期。gydF4y2Ba

tInit = 0;tFinal = 10;gydF4y2Ba

求解ODE。gydF4y2Ba

sols = ode45(f，[tInit tFinal]，x0)gydF4y2Ba

溶胶=gydF4y2Ba带字段的结构:gydF4y2Ba求解器:'ode45' extdata: [1x1 struct] x: [0 3.2241e-05 1.9344e-04 9.9946e-04 0.0050 0.0252 0.1259…[y: [2x45 double] stats: [1x1 struct] idata: [1x1 struct]gydF4y2Ba

: sols.y (1)gydF4y2Ba表示角位移gydF4y2Ba $θgydF4y2Ba$ 而且gydF4y2Ba: sols.y (2)gydF4y2Ba表示角速度。gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba θgydF4y2Ba /gydF4y2Ba dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

画出封闭路径解。gydF4y2Ba

图;yyaxisgydF4y2Ba左gydF4y2Ba；情节(溶胶。x，: sols.y (1)，gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba）;ylabel (gydF4y2Ba“\θ(rad)”gydF4y2Ba）;yyaxisgydF4y2Ba正确的gydF4y2Ba；情节(溶胶。x，: sols.y (2)，gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba）;ylabel (gydF4y2Ba' \ theta_t (rad / s) 'gydF4y2Ba）;网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba；标题(gydF4y2Ba“相空间中的闭合路径”gydF4y2Ba）;包含(gydF4y2Ba“t (s)”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。在相空间中标题为封闭路径的axis对象包含2个类型为line的对象。gydF4y2Ba

想象一下钟摆的运动。gydF4y2Ba

X_pos = @(t) sin(deval(sols,t,1));Y_pos = @(t) -cos(deval(sols,t,1));图;fanimator (@ (t)情节(x_pos (t) y_pos (t)gydF4y2Ba“柯”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“MarkerFaceColor”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“k”gydF4y2Ba));持有gydF4y2Ba在gydF4y2Ba；fananimator (@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，gydF4y2Ba“k -”gydF4y2Ba));fanimator (@ (t)文本(-0.3,1.5,gydF4y2Ba计时器:“gydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +gydF4y2Ba“s”gydF4y2Ba));gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。axis对象包含3个类型为line, text的对象。gydF4y2Ba

输入命令gydF4y2Ba那里gydF4y2Ba播放钟摆运动的动画。gydF4y2Ba

步骤9:开放能量轮廓的解决方案gydF4y2Ba

用求解开放能轮廓的ODEgydF4y2Ba数值gydF4y2Ba．从能量等高线图上看，开放等高线满足条件gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba ${θgydF4y2Ba}_{tgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba} /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba} >gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

X0 = [0;2.01 * omega_0Value];sols = ode45(f， [tInit, tFinal]， x0);gydF4y2Ba

画出开放能量等高线的解。gydF4y2Ba

图;yyaxisgydF4y2Ba左gydF4y2Ba；情节(溶胶。x，: sols.y (1)，gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba）;ylabel (gydF4y2Ba“\θ(rad)”gydF4y2Ba）;yyaxisgydF4y2Ba正确的gydF4y2Ba；情节(溶胶。x，: sols.y (2)，gydF4y2Ba“o”gydF4y2Ba）;ylabel (gydF4y2Ba' \ theta_t (rad / s) 'gydF4y2Ba）;网格gydF4y2Ba在gydF4y2Ba；标题(gydF4y2Ba“相空间中的开放路径”gydF4y2Ba）;包含(gydF4y2Ba“t (s)”gydF4y2Ba）;gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。在相空间中标题为Open Path的axis对象包含2个类型为line的对象。gydF4y2Ba

想象一下钟摆的运动。gydF4y2Ba

X_pos = @(t) sin(deval(sols,t,1));Y_pos = @(t) -cos(deval(sols,t,1));图;fanimator (@ (t)情节(x_pos (t) y_pos (t)gydF4y2Ba“柯”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“MarkerFaceColor”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“k”gydF4y2Ba));持有gydF4y2Ba在gydF4y2Ba；fananimator (@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，gydF4y2Ba“k -”gydF4y2Ba));fanimator (@ (t)文本(-0.3,1.5,gydF4y2Ba计时器:“gydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +gydF4y2Ba“s”gydF4y2Ba));gydF4y2Ba

图中包含一个轴对象。axis对象包含3个类型为line, text的对象。gydF4y2Ba

输入命令gydF4y2Ba那里gydF4y2Ba播放钟摆运动的动画。gydF4y2Ba

模拟钟摆周期性摆动的运动gydF4y2Ba

第一步:推导运动方程gydF4y2Ba

步骤2:线性化运动方程gydF4y2Ba

第三步:解析求解运动方程gydF4y2Ba

第四步:物理意义gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba

第五步:绘制钟摆运动图gydF4y2Ba

第六步:用恒定能量路径确定非线性摆运动gydF4y2Ba

第七步:求解非线性运动方程gydF4y2Ba

第八步:求解闭合能量轮廓的运动方程gydF4y2Ba

步骤9:开放能量轮廓的解决方案gydF4y2Ba

第四步:物理意义gydF4y2Ba ${ωgydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$