线性代数操作
象征性的希尔伯特矩阵
下面的例子，展示了如何执行基本的线性代数运算，是基于3 × 3希尔伯特矩阵的符号版本。
生成3 × 3希尔伯特矩阵。与格式的短, MATLAB®打印所示的输出。
H = hilb (3)
H = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
的计算元素H是由小整数的比率组成的浮点数。H是一个MATLAB数组类双。
转换H一个符号矩阵。
H =符号(H)
H =[1 1/2、1/3][1/2、1/3、1/4)(1/3、1/4、1/5)
符号线性代数运算
象征意义上的操作H产生与无限精度希尔伯特矩阵相对应的结果，信谊(hilb (3))，而不是它的浮点近似，hilb (3)。
求的倒数H。
发票(H)
ans =[-36, 30][-36、192、-180](30、-180、180)
求行列式H。
依据(H)
ans = 1/2160
你可以用反斜杠运算符来解联立线性方程组。例如,解决H * x = b。
b = [1;1;1);x = H \ b
X = 3 -24
所有三个结果——逆、行列式和线性系统的解——都是与无限精度有理希尔伯特矩阵相对应的精确结果。
可变精度运算
将前面的操作与使用20位精度的变精度算术进行对比。
数字(20)V = vpa(H)
V = [1.0, 0.5, 0.333333333333333333333333] [0.5, 0.3333333333333333, 0.25] [0.3333333333333333, 0.25, 0.2]
各个元素的小数点表示MATLAB正在使用变精度算法。每个算术运算的结果四舍五入为20位有效小数。
对矩阵求逆，注意错误会被矩阵条件号放大，对于hilb (3)大约有500。
电导率(V)
ans = 524.0567775860608
计算无限精度和可变精度版本的倒数之差。
ih =发票(H)
ih =[-36, 30][-36、192、-180](30、-180、180)
4 =发票(V)
4 = (9.0, -36.0, 30.0) (-36.0, 192.0, -180.0) (30.0, -180.0, 180.0)
虽然这些矩阵看起来是一样的，但计算它们的差异就会发现它们不是。
DHV = ih - iv
DHV = [-5.4929962552349494034e-26, 2.4556924435168009098e-25， -2.1971985020939797614e-25] [2.4556924435168009098e-25， -1.2666203129718236271e-24， - 1.1373733422604130529e-24] [-2.1971985020939797614e-25， - 1.1373733422604130529e-24， -1.0856745539758488233e]
解方程V * y = b。答案看起来和解一样H * x = b。
y = V \ b
Y = 3.0 -24.0 30.0
计算两者的差值x而且y看看两种解之间的细微差别。
x - y
Ans = 8.0779356694631608874e-27 -6.4623485355705287099e-26 7.1085833891275815809e-26
使用vpa与数字(16)提供了与使用标准的双精度MATLAB例程相当的精度。
奇异价值的符号考察
找到一个值年代为H (1,1)这使得H单数。
syms s Hs = H;Hs(1,1) = s Z = det(Hs) sol = solve(Z)
Hs =[年代,1/2、1/3][1/2、1/3、1/4)(1/3、1/4、1/5)Z = s / 240 - 1/270索尔= 8/9
将溶液替换为年代成海关。
Hs = sub (Hs, s, sol)
Hs =[8/9, 1/2、1/3][1/2、1/3、1/4)(1/3、1/4、1/5)
验证行列式海关是零。
依据(Hs)
ans = 0
的零空间和列空间海关。两个空间都是非平凡的。
N = null(Hs) C = colspace(Hs)
N= 3/10 -6/5 1 c = [1,0] [0,1] [-3/ 10,6 /5]
检查N在的零空间中海关。
Hs * N
Ans = 0 0 0
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