方域波动方程

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这个例子展示了如何用solvepde函数。

标准的二阶波动方程是

$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot \nabla u ＝ 0 ．$

要以工具箱形式表示这一点，请注意solvepde函数解决了表单问题

$米 \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot （ c \nabla u ） + 一个 u ＝ f ．$

所以标准波动方程有系数 $米＝ 1$ ， $c ＝ 1$ ， $一个＝ 0$ , $f ＝ 0$ ．

C = 1;A = 0;F = 0;M = 1;

在一个方形域上求解这个问题。的squareg函数描述了这个几何。创建一个模型对象并包含几何图形。绘制几何图形并查看边缘标签。

numberOfPDE = 1;model = createpde(numberOfPDE);geometryFromEdges(模型、@squareg);pdegplot(模型,“EdgeLabels”，“上”）;ylim ([-1.1 - 1.1]);轴平等的标题(显示边缘标签的几何图形)包含(“x”) ylabel (“y”）

图中包含一个轴对象。标题为Geometry with Edge Labels的axis对象包含5个类型为line, text的对象。

指定PDE系数。

specifyCoefficients(模型,“m”米,“d”0,“c”c“一个”一个,“f”f);

在左侧(边4)和右侧(边2)设置零狄利克雷边界条件，在顶部(边1)和底部(边3)设置零诺伊曼边界条件。

applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，“边缘”(2、4),“u”, 0);applyBoundaryCondition(模型,“纽曼”，“边缘”3 ([1]),“g”, 0);

创建并查看问题的有限元网格。

generateMesh(模型);图pdemesh(模型);ylim ([-1.1 - 1.1]);轴平等的包含xylabely

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个line类型的对象。

设置以下初始条件:

$u （ x ， 0 ）＝反正切（因为（ \frac{π x}{2} ））$ ．
${\frac{\partial u}{\partial t} |}_{t ＝ 0} ＝ 3. 罪（ π x ）经验值（罪（ \frac{π y}{2} ））$ ．

U0 = @(location) atan(cos(pi/2*location.x));Ut0 = @(location) 3*sin(pi*location.x).*exp(sin(pi/2*location.y));setInitialConditions(模型、情况ut0);

这种选择避免了将能量投入到更高的振动模式中，并允许合理的时间步长。

指定解时间为从0到5的31个等距点。

N = 31;Tlist = linspace(0,5,n);

设置SolverOptions。ReportStatistics的模型来“上”．

model.SolverOptions.ReportStatistics =“上”；Result = solvepde(model,tlist);

457个成功步骤38个失败尝试992个函数求值1个偏导数113个LU分解991个线性系统解

u = result. nodesolution;

创建一个动画来可视化所有时间步骤的解决方案。的最大值和最小值，保持一个固定的垂直刻度u在所有的时间里，缩放所有的地块来使用它们 $z$ 设在限制。

图umax = max(max(u));Umin = min(min(u));为I = 1:n pdeploy(模型，“XYData”u(:,我),“ZData”u(:,我),.．.“ZStyle”，“连续”，“网”，“关闭”）;轴([-1 1 -1 umin umax]);caxis ([umin umax]);包含xylabelyzlabeluM(i) = getframe;结束

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个patch类型的对象。

要播放动画，请使用电影(M)命令。