股票价格演变

假设价格按照与无风险利率、股息收益率(如果有的话)和市场波动性相关的对数正态分布演化。此外，假设所有这些数量在期权的生命周期内保持固定。这些假设导致了价格的随机微分方程。

$$d\mathrm{年代}＝\mathrm{年代}\times ［（r-d）dt+\sigma ϵ\sqrt{dt}］$$，

在哪里 $$\mathrm{年代}$$是股价， $$r$$是无风险利率， $$d$$是股票的年股息收益率， $$\sigma$$是价格的波动，和 $$ϵ$$表示高斯白噪声过程。假设 $$（\mathrm{年代}+\Delta \mathrm{年代}）/\mathrm{年代}$$是对数正态分布的，这个微分方程可以离散得到这个方程。

$${\mathrm{年代}}_{t+1}＝{\mathrm{年代}}_t\times \mathrm{经验值}［（r-d-\frac{1}{2}{\sigma }^2）\Delta t+\sigma ϵ\sqrt{\Delta t}］$$．

假设持有100美元的股票，用两年的时间窗口来检验一下:

上涨空间= 100;timeToExpiry = 2;股息= 0.01;riskFreeRate = 0.005;sampleRate = 1/250;波动率= 0.20;

为了保证可预测的结果，请设置CPU和GPU随机数生成器的种子。

种子= 1234;rng(种子);gpurng(种子);

模拟股价随时间变化的路径，并绘制结果图。

价格=上涨空间;时间= 0;h = animatedline(标志=“。”）;而time < timeToExpiry time = time + sampleRate;drift = (riskFreeRate -股息-波动率*波动率/2)*sampleRate;微扰= * sqrt (sampleRate) * randn波动;价格=价格*exp(漂移+扰动);addpoints (h、时间、价格);结束网格在轴紧包含(“时间(年)”) ylabel (“股票价格(美元)”）

时间CPU和GPU的执行时间

的simulateStockPrice函数在本例的最后提供，它使用前一节中描述的离散化微分方程模拟股票价格。

准备输入数据，以运行10万个股票价格的蒙特卡罗模拟。

N = 100000;startStockPrices =上涨空间*的(N - 1);

在CPU上进行100,000次模拟。

tic finalStockPricesCPU = 0 (N,1);为i = 1:N finalStockPricesCPU(i) = simulatstockprice (startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动,.．.timeToExpiry sampleRate);结束timeCPU = toc;

因为每次模拟都给出了期权价格的独立估计，所以取平均值作为结果。

流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(finalStockPricesCPU) timeCPU);

在2.206秒内计算出CPU的平均价格99.0857美元。

为了在GPU上运行仿真，需要在GPU上准备好输入数据gpuArray对象。

gpuStartStockPrices = gpuArray (startStockPrices);

当你打电话arrayfun使用GPU阵列和函数句柄作为输入，arrayfun将指定的函数应用于数组的每个元素。这种行为意味着没有必要遍历每个起始股价。的arrayfun函数在GPU上将一个基于元素的MATLAB®函数转换为自定义CUDA®内核，这减少了执行操作的开销。

运行simulateStockPrice函数使用arrayfun并在GPU上进行10万次模拟gputimeit．

finalStockPricesGPU = arrayfun (@simulateStockPrice,.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate);timeGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ simulatestockprice，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate));流(计算GPU上$ 1.4f在%1.3f秒内的平均价格。\n，.．.意思是(finalStockPricesGPU) timeGPU);

在0.023秒内计算出GPU上99.0442美元的平均价格。

在图形处理器上用直方图绘制蒙特卡洛模拟的结果。

直方图(finalStockPricesGPU, 100);包含(“股票价格(美元)”) ylabel (“频率”网格)在

亚洲期权定价

使用基于期权有效期内股价算术平均值的欧亚期权。的asianCallOption函数通过在模拟期间累积价格来计算平均价格。对于看涨期权，如果平均价格高于执行价格，则该函数执行期权。支付是平均价格和执行价格之间的差额。使用asianCallOption，在本例末尾提供，以模拟亚洲看涨期权。

将期权执行价格设为95美元。

罢工= 95;

在CPU和GPU上进行100,000次模拟arrayfun并展示结果。

tic optionPricesCPU = 0 (N,1);为i=1:N optionPricesCPU(i) = asianCallOption(startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动性,罢工,.．.timeToExpiry sampleRate);结束timeAsianOptionCPU = toc;流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(optionPricesCPU) timeAsianOptionCPU);

在2.146秒内计算CPU的平均价格为8.6733美元。

optionPricesGPU = arrayfun(@asianCallOption，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.timeToExpiry sampleRate);timeAsianOptionGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ asiancalloption，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.timeToExpiry sampleRate));流(计算GPU上$ 1.4f在%1.3f秒内的平均价格。\n，.．.意思是(optionPricesGPU) timeAsianOptionGPU);

在0.023秒内计算出GPU上8.7448美元的平均价格。

为回溯选项定价

使用欧式回溯期权，其股息为期权存续期内的最低股价与最终股价之差。期权的执行价格是最低股价。因为最终股价总是大于或等于最小值，期权总是被执行，并不是真正的可选。使用lookbackCallOption，在本例末尾提供，用于模拟欧式回看调用选项。

在CPU和GPU上进行100,000次模拟arrayfun并展示结果。

tic optionPricesCPU = 0 (N,1);为i=1:N optionPricesCPU(i) = lookbackCallOption(startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动,.．.timeToExpiry sampleRate);结束timeLookbackOptionCPU = toc;流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(optionPricesCPU) timeLookbackOptionCPU);

计算平均价格19.2456美元的CPU在2.201秒。

optionPricesGPU = arrayfun (@lookbackCallOption,.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate);timeLookbackOptionGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ lookbackcalloption，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动,.．.timeToExpiry sampleRate));流(计算GPU上$ 1.4f在%1.3f秒内的平均价格。\n，.．.意思是(optionPricesGPU) timeLookbackOptionGPU);

在0.021秒内计算出GPU上19.3893美元的平均价格。

障碍期权定价

使用涨停障碍期权，如果股价达到障碍水平，该期权将失效。如果股价停留在障碍水平以下，在正常的欧洲看涨期权计算中使用最终股价。使用upAndOutCallOption函数，该函数在本例的末尾提供，用于模拟一个向上和向上的屏障调用选项。

设置期权的执行价格和期权失效的障碍价格。执行价为95美元，障碍价为150美元。

罢工= 95;障碍= 150;

在CPU和GPU上进行100,000次模拟arrayfun并展示结果。

tic optionPricesCPU = 0 (N,1);为i=1:N optionPricesCPU(i) = upAndOutCallOption(startStockPrices(i)，.．.riskFreeRate、股息、波动性,罢工,.．.障碍,timeToExpiry sampleRate);结束timeBarrierOptionCPU = toc;流(计算CPU上$%1.4f的平均价格在%1.3f秒内。\n，.．.意思是(optionPricesCPU) timeBarrierOptionCPU);

在2.074秒内计算出CPU的平均价格6.8327美元。

optionPricesGPU = arrayfun (@upAndOutCallOption,.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.障碍,timeToExpiry sampleRate);timeBarrierOptionGPU = gputimeit(@() arrayfun(@ upandoutcalloption，.．.gpuStartStockPrices riskFreeRate,股息,波动性,罢工,.．.障碍,timeToExpiry sampleRate));流(计算GPU上$ 1.4f在%1.3f秒内的平均价格。\n，.．.意思是(optionPricesGPU) timeBarrierOptionGPU);

在0.021秒内计算出GPU上6.7834美元的平均价格。

比较结果

计算每个模拟的CPU执行时间与GPU执行时间的比值。

ratio = [timcpu /timeGPU timeAsianOptionCPU/timeAsianOptionGPU ..．.timeLookbackOptionCPU / timeLookbackOptionGPU timeBarrierOptionCPU / timeBarrierOptionGPU]

率=1×494.2557 94.6009 104.1725 97.5490

为了可视化结果，绘制每个模拟的执行时间比率。

栏(分类([“股价”“亚洲看涨期权”“Lookback选项”“障碍选择”]),.．.比率)ylabel (CPU与GPU执行时间之比）

在本例中，在GPU上运行模拟arrayfun比在CPU上运行模拟要快得多。

当您将本例中描述的技术应用到您自己的代码中时，性能改进将强烈地依赖于您的硬件和您运行的代码。

支持功能

股票价格演化模拟功能

的simulateStockPrice函数执行蒙特卡罗模拟，以确定最终股票价格。该计算假设价格按照与无风险利率、股息收益率(如果有的话)和市场波动性相关的对数正态分布演进。

的simulateStockPrice函数以初始股价、无风险利率、股息率、市场波动率、总时间窗和样本利率为输入。

函数finalStockPrice = simulatstockprice(价格，riskFreeRate，股息，波动性，T,dT) T = 0;而t < t t = t + dT;drift = (riskFreeRate -红利-波动率*波动率/2)*dT;微扰= * sqrt (dT) * randn波动;价格=价格。* exp(漂流+微扰);结束finalStockPrice =价格;结束

亚洲呼叫期权功能

的asianCallOption函数进行蒙特卡罗模拟，以确定亚洲看涨期权价格。该计算假设价格按照与无风险利率、股息收益率(如果有的话)和市场波动性相关的对数正态分布演进。该函数通过累积模拟期间的价格来计算平均价格。对于看涨期权，如果平均价格高于执行价格，则该函数执行期权。支付是平均价格和执行价格之间的差额。

的asianCallOption函数以初始股价、无风险利率、股息率、市场波动率、执行价格、总时间窗和样本利率为输入。

函数optionPrice = asianCallOption(价格，riskFreeRate，股息，波动率，罢工，T,dT) T = 0;cumulativePrice = 0;而t < t t = t + dT;dr = (riskFreeRate -红利-波动率*波动率/2)*dT;pert = * sqrt (dT) * randn波动;价格=价格*exp(dr + pert);cumulativePrice = cumulativePrice +价格;结束numSteps = (T / dT);meanPrice = cumulativePrice / numSteps;以今天的货币表示最终价格。optionPrice = exp(- riskfreerate *T)*max(0,meanPrice - strike);结束

Lookback选项功能

的lookbackCallOption函数执行蒙特卡罗模拟，以确定一种欧式回望期权，其股息为期权生命周期内的最低股价与最终股价之差。期权的执行价格是最低股价。因为最终股价总是大于或等于最小值，期权总是被执行，并不是真正的“可选”。

的lookbackCallOption函数以初始股价、无风险利率、股息率、市场波动率、总时间窗和样本利率为输入。

函数optionPrice = lookbackCallOption(价格，riskFreeRate，股息，波动率，T,dT) T = 0;minPrice =价格;而t < t t = t + dT;dr = (riskFreeRate -红利-波动率*波动率/2)*dT;pert = * sqrt (dT) * randn波动;价格=价格*exp(dr + pert);如果价格< minPrice;结束结束以今天的货币表示最终价格。optionPrice = exp(- riskfreerate *T)*max(0,price - minPrice);结束

障碍选择功能

的upAndOutCallOption函数执行蒙特卡罗模拟，以确定一个向上和向上的障碍看涨期权价格。如果股价保持在障碍水平以下，该函数在正常的欧洲看涨期权计算中使用最终股价。

的upAndOutCallOption函数以初始股票价格、无风险利率、股息率、市场波动率、执行价格、障碍价格、总时间窗和样本利率为输入。

函数optionPrice = upAndOutCallOption(价格，riskFreeRate，股息，波动性，罢工，障碍，T,dT) T = 0;而(t < t) &&(价格<障碍)t = t + dT;dr = (riskFreeRate -红利-波动率*波动率/2)*dT;pert = * sqrt (dT) * randn波动;价格=价格*exp(dr + pert);结束如果价格<障碍%在障碍内，价格与欧洲期权相同optionPrice = exp(- riskfreerate *T)*max(0，价格-执行);其他的击中障碍，因此期权被撤回。optionPrice = 0;结束结束