带约束的非线性系统

解不等式约束方程

fsolve解一个非线性方程组。但是，它不允许包含任何约束，甚至是绑定约束。那么当你有约束条件的时候你怎么解非线性方程组呢?

不能保证满足约束条件的解决方案一定存在。事实上，这个问题可能没有任何解决方案，甚至不满足您的约束条件。但是，有一些技术可以帮助您搜索满足约束条件的解决方案。

为了说明这些技术，请考虑如何求解这些方程

$\begin{array}{c} F_{1} （ x ）＝（ x_{1} + 1 ）（ 10 - x_{1} ） \frac{1 + x_{2}^{2}}{1 + x_{2}^{2} + x_{2}} \\ F_{2} （ x ）＝（ x_{2} + 2 ）（ 20 - x_{2} ） \frac{1 + x_{1}^{2}}{1 + x_{1}^{2} + x_{1}} ， \end{array}$

其中的成分 $x$ 必须是负的。该方程有四个解:

$\begin{array}{l} x ＝（ - 1 ， - 2 ） \\ x ＝（ 10 ， - 2 ） \\ x ＝（ - 1 ， 20 ） \\ x ＝（ 10 ， 20 ）． \end{array}$

只有一个解满足约束条件，即 $x ＝（ 10 ， 20 ）$ ．

的fbnd的辅助功能此示例结束计算 $F （ x ）$ 数值。

使用不同的起点

一般来说，一个系统 $N$ 方程 $N$ 变量有孤立的解，这意味着每个解没有邻近的也是解的邻居。寻找满足约束条件的解的一种方法是生成一些初始点x0，然后跑fsolve在每一个开始x0．

对于这个例子，寻找方程组的解 $F （ x ）＝ 0$ ，取10个正态分布均值为0，标准差为100的随机点。

rng默认的%的再现性N = 10;尝试10个随机起点分= 100 * randn (N, 2);初始点是pts中的行溶液= 0 (N, 2);%分配解决方案选择= optimoptions (“fsolve”，“显示”，“关闭”）;为k = 1:N soln(k，:) = fsolve(@fbnd,pts(k，:)，opts);%找到解决方案结束

列出满足约束条件的解。

Idx = soln(:，1) >= 0 & soln(:，2) >= 0;disp(溶液(idx:))

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

使用不同的算法

fsolve有三个算法。每一种都可能导致不同的解决方案。

举个例子x0 = [1, 9]并检查每个算法返回的解。

x0 = [1, 9];选择= optimoptions (@fsolve,“显示”，“关闭”，.．.“算法”，“trust-region-dogleg”）;x1 = fsolve (x0, @fbnd选择)

x1 =1×2-1.0000 - -2.0000

选择。算法=“信赖域”；x2 = fsolve (x0, @fbnd选择)

x2 =1×2-1.0000 - 20.0000

选择。算法=“levenberg-marquardt”；x3 = fsolve (x0, @fbnd选择)

x3 =1×20.9523 - 8.9941

在这里，所有三种算法都为相同的初始点找到不同的解。没有一个满足约束条件。报告的“解决方案”x3它甚至不是一个解，只是一个局部静止点。

使用`lsqnonlin`与范围

lsqnonlin试图使向量函数中各分量的平方和最小化 $F （ x ）$ ．因此，它试图解这个方程 $F （ x ）＝ 0$ ．同时,lsqnonlin接受绑定约束。

用例题表述lsqnonlin并解决它。

磅= (0,0);rng默认的x0 = 100 * randn (2, 1);[x, res] = lsqnonlin (x0, @fbnd磅)

局部最小值。由于梯度的大小小于最优公差值，因此优化已完成。

x =2×110.0000 - 20.0000

res = 2.4783 e-25

在这种情况下,lsqnonlin收敛到满足约束条件的解。您可以使用lsqnonlin使用全局优化工具箱MultiStart求解器自动搜索多个初始点。看到MultiStart使用lsqcurvefit或lsqnonlin(全局优化工具箱)．

设置方程和不等式为`fmincon`约束

你可以重新表述这个问题并使用fmincon如下:

给出一个恒定的目标函数，例如@ (x) 0，它的值为0x．
设置fsolve目标函数作为非线性等式约束fmincon．
在通常情况下给出任何其他约束条件fmincon语法。

的fminconstr的辅助功能此示例结束实现非线性约束。解决约束问题。

磅= (0,0);%下限约束rng默认的可重复的起始点x0 = 100 * randn (2, 1);选择= optimoptions (@fmincon,“算法”，“内点”，“显示”，“关闭”）;x = fmincon (@ (x) 0 x0 ,[],[],[],[], 磅,[],@fminconstr选择)

x =2×110.0000 - 20.0000

在这种情况下,fmincon从起点解决问题。

辅助函数

此代码创建fbndhelper函数。

函数F = fbnd F (x) (1) = (x (1) + 1) * (10 x (1)) * (1 + x (2) ^ 2) / (1 + x (2) ^ 2 + (2));F (2) = (x (2) + 2) * (20 x (2)) * (1 + x (1) ^ 2) / (1 + x (1) ^ 2 + x (1));结束

此代码创建fminconstrhelper函数。

函数[c,ceq] = fminconstr(x) c = [];%无非线性不等式测查= fbnd (x);fsolve目标是fmincon非线性等式约束结束

另请参阅

fsolve|lsqnonlin|fmincon