阶梯悬臂梁设计问题

在一端支撑一个阶梯悬臂梁，在自由端施加载荷，如下图所示。梁必须能够承受给定的载荷，，在一个固定的距离的支持。梁的设计者可以改变宽度()和身高()。我们假设悬臂的每一部分长度相同，．

光束的体积

光束的体积，为各部分体积之和

设计约束:1 -弯曲应力

考虑一个单一的悬臂梁，其坐标中心在其截面的中心在梁的自由端。一点处的弯曲应力由下式给出

在哪里弯矩在吗，到末端荷载的距离和是梁的面积惯性矩。

现在，在如图所示的阶梯悬臂梁中，梁各截面的最大弯矩为,在那里是到末端荷载的最大距离，，为梁的每个截面。因此，最大应力为梁的-th截面，，由

当最大应力发生在梁的边缘时，．面积转动惯量梁的-th截面由

把这个代入方程给了

悬臂各部分的弯曲应力不应超过最大允许应力，．因此，我们最终可以陈述五个弯曲应力约束(一个用于悬臂的每一步)

设计约束:2 -端偏转

悬臂的末端挠度可以用Castigliano第二定理来计算，该定理指出

在哪里是梁的挠度，是由于外力储存在梁中的能量，．

储存在悬臂梁中的能量由

在哪里施加力的时刻是．

考虑到对于悬臂梁，我们可以把上面的方程写成

在哪里面积是转动惯量吗-第一部分悬臂。对积分求值得到以下表达式．

应用Castigliano定理，给出了梁的末端挠度

现在，悬臂的末端挠度，，应小于最大允许挠度，，得到以下约束条件。

设计约束:3 -长宽比

对于悬臂的每一步，长宽比不得超过允许的最大长宽比，．也就是说,

为

说明优化问题

我们现在能够给出给定的约束条件，找出阶梯悬臂梁的最优参数的问题。

让，，，，，，，，而且

最小化:

主题:

梁的第一步只能加工到最近的厘米。也就是说,而且必须是整数。其余的变量是连续的。变量的边界如下:-

该问题的设计参数

对于我们在本例中要解决的问题，梁必须支撑的端荷载为．

梁的长度和最大端挠度为:

梁每一步的最大允许应力，

梁每一步的杨氏模量，

求解混合整数优化问题

我们现在解决了说明优化问题．

定义适应度和约束函数

检查MATLAB®文件cantileverVolume.m而且cantileverConstraints.m看看适应度和约束函数是如何实现的。

关于线性约束的注意事项:当线性约束指定为遗传算法，通常通过一个，b，Aeq而且说真的输入。在这种情况下，我们通过非线性约束函数来指定它们。这是因为在本例后面，一些变量将变成离散的。当问题中存在离散变量时，在非线性约束函数中指定线性约束要容易得多。另一种方法是修改线性约束矩阵以在变换后的变量空间中工作，这不是简单的，也许是不可能的。同样，在混合整数中遗传算法在求解器中，线性约束与非线性约束的处理没有任何区别，无论它们是如何指定的。

设置范围

创建包含下界(磅)和上限约束(乌兰巴托）.

Lb = [1 30 2.4 45 2.4 45 1 30 1 30];Ub = [5 65 3.1 60 3.1 60 5 65 5 65];

设置选项

为了得到更精确的解，我们增加PopulationSize,MaxGenerations选项从默认值中删除，并减少EliteCount而且FunctionTolerance选项。这些设置的原因遗传算法使用更大的种群(增加PopulationSize)，增加设计空间的搜索(减少EliteCount)，并继续进行，直到其最佳成员的变化非常小(小FunctionTolerance)。我们还指定了一个plot函数来监视惩罚函数的值遗传算法的进展。

注意，这里有一组受限的遗传算法在解决混合整数问题时可用的选项-有关更多细节，请参阅全局优化工具箱用户指南。

选择= optimoptions (@ga,.．.“PopulationSize”, 150,.．.“MaxGenerations”, 200,.．.“EliteCount”10.．.“FunctionTolerance”1 e-8.．.“PlotFcn”, @gaplotbestf);

调用遗传算法解决问题

我们现在可以叫遗传算法解决问题。在问题陈述中而且是整数变量。我们通过传递索引向量来指定它(1 2)来遗传算法在非线性约束输入之后，在选项输入之前。为了再现性，我们还在这里设置了随机数生成器。

rng (0,“旋风”）;[xb, fb, exitflag] = ga (@cantileverVolume 10 , [], [], [], [],.．.lb, ub， @cantileverConstraints， [1 2]， opts);

优化终止:超过最大代数。

分析结果

如果一个问题有整数约束，遗传算法哈贝马斯在内部。特别地，问题中的适应度函数被一个处理约束的惩罚函数所取代。对于可行的总体成员，惩罚函数与适应度函数相同。

返回的解遗传算法如下显示。注意，最靠近支撑的部分被限制为宽度()和身高()，它是一个整数值，并且该约束已被GA所遵守。

显示(xb);

xbest =第1 ~ 7列3.0000 60.0000 2.8504 57.0057 2.6114 50.6243 2.2132第8 ~ 10列44.2349 1.7543 35.0595

我们也可以问遗传算法返回光束的最佳体积。

流(ga = %g\n'返回的cost函数、fb);

ga返回的代价函数= 63408.9

添加离散非整数变量约束

工程师们现在被告知，悬臂的第二步和第三步的宽度和高度只能从标准集合中选择。在本节中，我们将展示如何将此约束添加到优化问题中。注意，添加了这个约束后，这个问题与在[1]中解决的问题相同。

首先，我们说明将添加到上述优化的额外约束

要解决这个问题，我们需要能够指定变量，，而且离散变量。要指定一个组件从集合中取离散的值、优化与取从1到的值的整数变量,并使用作为离散值。指定范围(1到)，设1为下界作为上界。

首先，我们变换离散变量的边界。每个集合有4个成员，我们将离散变量映射到范围[1,4]的整数。为了将这些变量映射为整数，我们将每个变量的下界设为1上界设为4。

Lb = [1 30 1 1 1 1 1 30 1 30];Ub = [5 65 4 4 4 4 5 65 5 65];

的转换(整数)版本，，而且现在将传递给适应度和约束函数，当遗传算法解算器。为了正确计算这些函数，，，而且需要在这些函数中转换为给定离散集的一个成员。要了解这是如何实现的，请检查MATLAB文件cantileverVolumeWithDisc.m，cantileverConstraintsWithDisc.m而且cantileverMapVariables.m．

现在我们可以调用遗传算法解决离散变量问题。在这种情况下都是整数。这意味着我们要传递索引向量1:6来遗传算法来定义整数变量。

rng (0,“旋风”）;[xbestDisc, fbestDisc, exitflagDisc] = ga(@cantileverVolumeWithDisc，.．.10， []， []， []， []， lb, ub， @cantileverConstraintsWithDisc, 1:6, opts);

优化终止:超过最大代数。

分析结果

xbestDisc(三6)是回来遗传算法整数形式(即转换后的状态)。我们需要反向变换来检索他们工程单位中的值。

xbestDisc = cantileverMapVariables (xbestDisc);显示(xbestDisc);

xbestDisc =列1 ~ 7 3.0000 60.0000 3.1000 55.0000 2.6000 50.0000 2.2430列8 ~ 10 44.8603 1.8279 36.5593

和前面一样，解返回遗传算法遵守约束条件而且都是整数。我们也可以看到，从[2.4,2.6,2.8,3.1]cm和，从[45,50,55,60]cm中选择。

回想一下，我们在变量上添加了额外的约束x (3)，x (4)，x (5)而且x (6)．正如预期的那样，当对这些变量有额外的离散约束时，最优解具有更高的最小体积。请进一步注意，[1]中报告的解决方案的最小体积为我们找到了一个近似于[1]中报告的解。

流(ga = %g\n'返回的cost函数, fbestDisc);

ga返回的代价函数= 64795

总结

这个例子说明了如何使用遗传算法求解器，遗传算法，求解具有整数约束的有约束非线性优化问题。该示例还展示了如何处理在问题表述中具有离散变量的问题。

参考文献

Thanedar, P. B.和G. N. Vanderplaats。结构设计中的离散变量优化研究综述结构工程学报，1995，(3)，pp. 301-306。