具有单一非光滑点的函数

这个函数 $$f（x）＝||x|{|}^{1/2}$$在点0处是非光滑的，也就是最小值点。这是一个二维图使用矩阵范数对于4-D点 $［\begin{array}{cc}x（1）& x（2）\\ 0& 0\end{array}］$．

图x = linspace(-5,5,51);[xx, yy] = meshgrid (x);zz = 0(大小(xx));为2 = 1:长度(x)为jj = 1:长度(x) zz ii, jj =√(规范([xx (ii, jj), yy (ii, jj), 0, 0)));结束结束冲浪(yy, xx zz)包含(“x”(1)) ylabel (“x”(2))标题(“规范([x(1),(2), 0, 0)) ^{5}”）

这个例子使用2 × 6矩阵的矩阵范数x．矩阵范数涉及奇异值分解，不像欧氏范数那样流畅。看到2-Norm矩阵．

尽量减少使用patternsearch

patternsearch是建议尝试解决非光滑问题的首选求解器。看到选择解算器表．开始patternsearch一个非零的2 × 6矩阵x0的最小值 $$f$$．对于这个尝试和所有其他尝试，使用默认的求解器选项。

返回解(应该接近零)、目标函数值(也应该接近零)以及函数求值的次数。

有趣= @ (x)规范([x (1:6); (7:12))) ^ (1/2);x0 = (1:6; 7:12);rng默认的X0 = X0 + rand(size(X0))

x0 =2×61.8147 2.1270 3.6324 4.2785 5.9575 6.1576 7.9058 8.9134 9.0975 10.5469 11.9649 12.9706

(xps、fvalps eflagps outputps] = patternsearch(有趣,x0);

优化终止:网格尺寸小于options.MeshTolerance。

xps、fvalps eflagps outputps.funccount

xps =2×6104× 0.1116 -0.1209 0.3503 -0.0520 -0.1270 0.2031 -0.3082 -0.1526 0.0623 0.0652 0.4479 0.1173

fvalps = 0.0073

eflagps = 1

ans = 10780

patternsearch达到一个很好的解决方案，如退出标志1所示。然而，它需要超过10,000个函数计算才能收敛。

尽量减少使用fminsearch

文档说明fminsearch有时可以处理不连续，所以这是一个合理的选择。

(广播xfm fvalfms、eflagfms outputfms] = fminsearch(有趣,x0);

退出:函数计算的最大数量已超过-增加MaxFunEvals选项。当前函数值:3.197063

广播xfm、fvalfms eflagfms outputfms.funcCount

广播xfm =2×62.2640 1.1747 9.0693 8.1652 1.7367 -1.2958 3.7456 1.2694 0.2714 -3.7942 3.8714 1.9290

fvalfms = 3.1971

eflagfms = 0

ans = 2401

使用默认选项,fminsearch在收敛到解决方案之前，函数计算耗尽。出口标志0表示这种缺乏收敛性。报道的解决方案很差。

使用particleswarm

particleswarm建议作为下一个尝试的求解器。看到非光滑问题的求解方法选择．

[xpsw, fvalpsw eflagpsw outputpsw] = particleswarm(有趣,12);

优化结束:目标值相对于上一个OPTIONS的变化。MaxStallIterations小于OPTIONS.FunctionTolerance。

xpsw、fvalpsw eflagpsw outputpsw.funccount

xpsw =1×1210-12年× -0.0386 -0.1282 -0.0560 0.0904 0.0771 -0.0541 -0.1189 0.1290 -0.0032 0.0165 0.0728 -0.0026

fvalpsw = 4.5222 e-07

eflagpsw = 1

ans = 37200

particleswarm找到一个更精确的解patternsearch，但需要超过35,000个函数计算。退出标志1表示解决方案是好的。

使用遗传算法

遗传算法是一个流行的求解器，但不建议作为第一个尝试的求解器。看看它在这个问题上的效果。

(xga fvalga、eflagga outputga] = ga(有趣,12);

优化终止:适应度值的平均变化小于options.FunctionTolerance。

xga、fvalga eflagga outputga.funccount

xga =1×12-0.0061 -0.0904 0.0816 -0.0484 0.0799 -0.1925 0.0048 0.3581 0.0848 0.0232 0.0237 -0.1294

fvalga = 0.6257

eflagga = 1

ans = 65190

遗传算法没有找到像?一样好的解决方案patternsearch或particleswarm，它需要的函数求值大约是particleswarm．在这种情况下，出口标志1具有误导性。

使用fminunc从优化工具箱

fminunc不建议用于非光滑函数。看看它在这台机器上的表现。

[xfmu, fvalfmu eflagfmu outputfmu] = fminunc(有趣,x0);

局部最小值。Fminunc停止，因为当前步长小于步长公差值。

xfmu、fvalfmu eflagfmu outputfmu.funcCount

xfmu =2×6-0.5844 -0.9726 -0.4356 0.1467 0.3263 -0.1002 -0.0769 -0.1092 -0.3429 -0.6856 -0.7609 -0.6524

fvalfmu = 1.1269

eflagfmu = 2

ans = 546

的fminunc解决方案不如遗传算法解决方案。然而,fminunc在相对较少的函数计算中达到相当差的解决方案。出口标志2表示你应该小心，一阶最优条件不满足报告的解决方案。

使用fmincon从优化工具箱

fmincon有时可以最小化非光滑函数。看看它在这台机器上的表现。

[xfmc, fvalfmc eflagfmc outputfmc] = fmincon(有趣,x0);

局部最小值。约束满足。Fmincon停止，因为当前步长小于步长公差的值，并且约束满足在约束公差的值之内。

xfmc、fvalfmc eflagfmc outputfmc.funcCount

xfmc =2×6109× 0.0241 0.0613 -0.1337 -0.0030 0.1065 0.0378 -0.1376 0.0497 0.1443 -0.1176 0.0373 0.1430

fvalfmc = 1.7662 e-05

eflagfmc = 2

ans = 881

fmincon使用默认选项可以在少于1000次的函数求值后生成精确的解。出口标志2并不意味着解不准确，而是表示一阶最优条件不满足。这是因为目标函数的梯度在解处不为零。

总结的结果

选择合适的求解器可以得到更好、更快的结果。这个总结显示了结果是多么的不同。溶液质量为“可怜的”如果目标函数值大于0.1，‘好’如果值小于0.01，和“平庸”否则。

解算器= {“patternsearch”；“fminsearch”；“particleswarm”；“遗传算法”；“fminunc”；“fmincon”};SolutionQuality = {‘好’；“可怜的”；‘好’；“可怜的”；“可怜的”；‘好’};FVal = [fvalps fvalfms、fvalpsw fvalga, fvalfmu, fvalfmc) ';NumEval = [outputps.funccount outputfms.funcCount outputpsw.funccount,.．.outputga.funccount、outputfmu.funcCount outputfmc.funcCount]”;结果=表(解算器,SolutionQuality、FVal NumEval)

结果=6×4表解算器SolutionQuality FVal NumEval  _________________ _______________ __________ _______ {' patternsearch}{‘好’}0.0072656 10780{‘fminsearch}{“贫穷”}2401 - 3.1971{‘particleswarm}{‘好’}4.5222 e-07 37200 {ga的}{“贫穷”}65190 - 0.62572{‘fminunc}{“贫穷”}546 - 1.1269{‘fmincon}{‘好’}1.7662 e-05 881

结果的另一个观点。

图保存在为ii = 1:长度(FVal) clr = rand(1,3);情节(NumEval (ii), FVal (ii),“o”，“MarkerSize”10“MarkerEdgeColor”clr,“MarkerFaceColor”clr)文本(NumEval (ii), FVal (ii) + 0.2,解算器{2},“颜色”, clr);结束ylabel (“FVal”)包含(“NumEval”)标题(“由求解器报告的最小值和评估”)举行从

而particleswarm达到最低的目标函数值，它通过接管三倍于patternsearch是美国的30多倍fmincon．

fmincon一般不推荐用于非光滑问题。这种情况下是有效的，但这种情况下只有一个非光滑点。