如何构造样条曲线
此示例演示如何使用曲线拟合工具箱™中的样条函数以各种方式构造样条曲线。
插值
你可以构建一个三次样条interpolant它与下面的余弦函数相匹配x,使用csapi命令。
X = 2*pi*[0 1 .1:.2:.9];y = cos (x);c = csapi (x, y);
然后可以使用命令查看插值样条fnplt．
fnplt (cs, 2);轴([-1 7 -1.2 1.2])保持在情节(x, y,“o”)举行从
检查Interpolant
余弦函数是2*的周期函数。我们的三次样条插值在这方面做得怎么样?一种检验方法是计算两个端点的一阶导数的差值。
Diff (fnval(fnder(cs)， [0 2*pi]))
ans = -0.1375
要加强周期性，可以使用csape而不是csapi．
CSP = cape (x, y，“周期”）;持有在fnplt (csp,‘g’)举行从
现在支票给了
Diff (fnval(fnder(csp)， [0 2*pi]))
ans = -2.2806 e-17
即使二阶导数在端点处也匹配。
Diff (fnval(fnder(csp, 2)， [0 2*pi]))
ans = -2.2204 e-16
的分段线性interpolant到相同的数据可通过spapi．在这里，我们将其添加到前面的图中，用红色表示。
Pl = spapi(2, x, y);持有在fnplt (pl,“r”, 2)从
平滑
如果数据有噪声，通常需要近似而不是插值。例如，有了这些数据
x = linspace(0, 2 *π,51);Noisy_y = cos(x) + .2*(rand(size(x))-.5);情节(x, noisy_y,“x”轴([-1 7 -1.2 1.2])
插值会给出下面蓝色显示的摆动插值。
持有在Fnplt (csapi(x, noisy_y))保持从
相反，平滑需要适当的公差
托尔=(. 05)^ 2 *(2 *π)
托尔= 0.0157
给出一个平滑的近似，如下面的红色部分所示。
持有在Fnplt (spaps(x, noisy_y, tol)，“r”2) hold住从
接近区间的端点时，近似就差得多，而且远非周期性的。为了加强周期性，近似周期性扩展的数据，然后将近似限制为原始区间。
Noisy_y([1端])= mean(Noisy_y([1端]));lx =长度(x);lx2 =圆(lx / 2);范围= [lx2:lx 2:lx2:lx2];sps = spaps ([x (lx2: lx) 2 *π(2:lx) x (2: lx2) + 2 *π),noisy_y(范围),2 * tol);
这给出了更接近周期的近似，如黑色部分所示。
持有在fnplt (sps(0 2 *π)“k”, 2)从
最小二乘近似
或者，您可以使用一个具有很少自由度的样条对噪声数据使用最小二乘近似。
例如，您可以尝试一个只有四块的三次样条。
Spl2 = spap2(4,4, x, noisy_y);fnplt (spl2“b”2);轴([-1 7 -1.2 1.2])保持在情节(x, noisy_y,“x”)举行从
选择结
当使用spapi或spap2，你通常必须指定一个特定的样条空间。这是通过指定a来完成的结序列和一个订单，这可能会有一点问题。但是，在做样条插值时要x, y使用顺序样条的数据k，您可以使用该功能optknt提供一个好的结序列，如下例所示。
k = 5;% 5阶，即我们使用四次样条X = 2*pi*sort([0 1 rand(1,10)]);y = cos (x);Sp = spapi(optknt(x,k)， x, y);fnplt (sp 2‘g’）;持有在情节(x, y,“o”)举行从轴([-1 7 -1.1 1.1])
在做最小二乘近似时，您可以使用当前近似来确定一个可能更好的结选择newknt．例如，下面指数函数的近似值就不是那么好，从它的误差(用红色表示)可以看出。
x = linspace (0, 10101);y = exp (x);Sp0 = spap2(augknt(0:2:10,4)， 4, x, y);情节(x, y-fnval (sp0 x),“r”，“线宽”, 2)
但是，您可以使用初始近似来创建另一个相同结的数量，但是分布得更好。它的误差用黑色标出。
Sp1 = spap2(newknt(sp0)， 4, x, y);持有在情节(x, y-fnval (sp1, x),“k”，“线宽”, 2)从
网格数据
曲线拟合工具箱中的所有样条插值和近似命令也可以处理任意数量变量的网格数据。
例如，这是一个双三次样条插值到墨西哥帽函数。
x =。+ (4:.2:4);y = 3: .2:3;(yy, xx) = meshgrid (y、x);r =π* sqrt (xx。^ 2 + yy。^ 2);z =罪(r)。/ r;BCS = csapi({x,y}， z);Fnplt (bcs)轴([-5 5 -5 5 -。5 (1)
这是最小二乘近似于同一网格上同一函数的噪声值。
Knotsx = augknt(linspace(x(1)， x(end)， 21)， 4);Knotsy = augknt(linspace(y(1)， y(end)， 15)， 4);bsp2 = spap2 ({knotsx, knotsy}, (4 - 4), {x, y}, z + .02 *(兰德(大小(z))));Fnplt (bsp2)轴([-5 5 -5 5 -。5 (1)
曲线
由于曲线拟合工具箱可以处理网格化数据，因此可以轻松地处理网格化数据向量值样条函数。这也使得处理参数曲线变得容易。
例如，这里是无穷大的近似值，通过下面图中标记的点画一条三次样条曲线得到。
t = 0:8;Xy = [0 0;1 1;1 -1;0 0;1 1;-1.7 0;1 1;0 0]。”;Infty = cape (t, xy，“周期”）;Fnplt (infty, 2)轴([-2 2 -1.1 1.1])保持在情节(xy (1:), xy (2:)“o”)举行从
这是同样的曲线，但是在三维空间中运动。
Roller = cape (t， [xy;0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 0]，“周期”）;Fnplt(滚子，2，[0 4]，“b”)举行在Fnplt(滚子，2，[4 8]，“r”) plot3 (0, 0, 0,“o”)举行从
曲线的两半用不同的颜色绘制，并标记了原点，以帮助可视化这条双翼空间曲线。
表面
值为R^3的二元张量积样条给出曲面。例如，这是一个环面的近似。
x = 0:4;y = 2:2;R = 4;r = 2;v = 0(3、5、5);v(3，:，:) = [0 (R-r)/2 0 (R-r)/2 0]。'*[1 1 1 1 1];v(2，:，:) = [R (R +R)/ 2r (R +R)/ 2r]. v(2，:，:) = [R (R +R)/ 2r]。'*[0 1 0 -1 0];v(1，:，:) = [R (R +R)/ 2r (R +R)/ 2r]. v(1，:，:) = [R (R +R)/ 2r]。'*[1 0 -1 0 1];dough0 = csape ({x, y}, v,“周期”）;fnplt (dough0)轴平等的,轴从
这是表面的法线冠。
nx = 43;nx的xy = [(1);linspace (2, 2, nx)];点= fnval (dough0 xy) ';各级= fnval (fndir (dough0、眼睛(2)),xy);法线=交叉(接单(4:6 -:),各级(1:3,:));法线= (normals. / repmat(√sum(法线。*法线)),3,1))';pn =[点,点+法线];持有在为j = 1: nx plot3 (pn ([j, j + nx], 1), pn ([j, j + nx], 2), pn ([j, j + nx], 3))结束持有从
最后，这是它在(x,y)平面上的投影。
Fnplt (fncmb(dough0， [1 0 0;)轴([-5.25 5.25 -4.14 4.14])，轴从
分散的数据
它还可以插值到平面中未网格数据站点上给出的值。例如，考虑将单位正方形平滑地映射到单位磁盘的任务。我们构造数据值(标记为圆)和相应的数据点(标记为x)。每个数据站点通过一个箭头与其关联的值相连。
n = 64;t = linspace(0, 2 *π,n + 1);t(结束)= [];值= (cost;罪(t)];:情节(值(1)、价值观(2:)”或“)轴平等的,轴从网站= values. / repmat (max (abs(值))、2、1);持有在情节(网站(1:),网站(2:)“xk”)箭袋(网站(1:),网站(2:).．.值(1:)网站(1:),值(2:)网站(2:))从
然后使用tpaps构造二元插值向量值薄板样条。
St = tpaps(sites, values, 1);
样条确实将单位正方形平滑地(近似地)映射到单位圆盘上，正如它的图形通过fnplt表示。图中显示了样条图下的均匀间距正方形网格图像圣．
持有在fnplt (st)从
您也可以从以下列表中选择网站: