CSAPS命令

命令csaps提供了平滑样条。这是一个三次样条，或多或少地遵循噪声数据中假定的潜在趋势。由您选择的平滑参数决定了平滑样条跟随给定数据的紧密程度。以下是基本信息，文档的缩写版本:

三次平滑样条。

值= csaps (x, y, p, xx)

对象的三次平滑样条在XX处的值

给定数据(X,Y)，根据平滑参数P，选择

从区间[0 ..]1]。平滑样条f的值最小

P * sum_i W (i) (Y (i) - f (X (i))) ^ 2 + (1 - P) * (f D ^ 2) ^ 2积分

例子:来自三次多项式的噪声数据

这里有一些试运行。我们从简单立方的数据开始，问(x): = x ^ 3，用一些噪声污染值，并选择平滑参数的值为.5。然后绘制得到的平滑值，以及底层的立方和受污染的数据。

ξ= (0:.05:1);Q = @(x) x.^3;易= q (xi);randomStream = RandStream.create (“mcg16807”，“种子”、23);ybad = +。3 *(兰德(randomStream、大小(xi)));p = 5;第二十一章= (0:100)/ 100;y = csaps (xi, ybad, p,第二十一章);情节(xi,咦,“:”“x”第二十一章,y,的r -)标题(“干净数据，噪声数据，平滑值”)传说(“准确”，“吵”，“平滑”，“位置”，“西北”）

这里的平滑效果太过了。通过选择平滑参数p越接近1，得到的光滑样条越接近给定数据。我们试着P = .6， .7， .8， .9, 1，并绘制得到的平滑样条。

yy = 0(5、长度(第二十一章);p =[。6 .7 .8 .9 1];为J =1:5 yy(J，:) = csaps(xi,ybad,p(J)，xxi);结束持有在情节(第二十一章,yy);持有从标题(“平滑参数的不同值的平滑样条”)({传奇“准确”，“吵”，“p = 0.5”，“p = 0.6”，“p = 0.7”，“p = 0.8”，.．.“p = 0.9”，“p = 1.0”}，“位置”，“西北”）

我们发现平滑样条对平滑参数的选择非常敏感。即使对于p= 0.9时，平滑样条仍远未达到基本趋势，而forp= 1，我们得到(有噪声)数据的插值。

事实上，使用的公式csapi(p.235ff样条曲线的实用指南)对自变量的缩放非常敏感。对所使用的方程进行了简单的分析，表明对的敏感范围p大约是1 /(1 +ε),ε:= h ^ 3/16,h相邻站点之间的平均差异。具体地说，当p = 1 /(1 +ε/ 100)以及一些令人满意的平滑p = 1 /(1 +ε* 100)．

的平滑样条p接近这个神奇的数字1 /(1 +ε)．在这种情况下，查看它的信息更丰富1 - p因为这个神奇的数字，1 /(1 +ε)，非常接近1。

1 - 1 /(1 +ε)

ans = 7.8124 e-06

情节(xi,咦,“:”“x”)举行在标签=细胞(1、5);为J =1:5 p =1 /(1+ *10^(J -3));yy (j) = csaps (xi, ybad, p,第二十一章);标签{j} = [“1 - p = ', num2str (1 - p)];结束情节(第二十一章,yy)标题(“平滑参数在其“神奇”值附近的平滑样条”)([{传奇“准确”，“吵”},标签),“位置”，“西北”)举行从

在这个例子中，平滑样条对平滑参数在魔数附近的变化非常敏感。离1最远的那个似乎是最好的选择，但你可能更喜欢比1更远的那个。

p = 1 /(1 +ε* 10 ^ 3);yy = csaps (xi, ybad, p,第二十一章);持有在情节(第二十一章,yy,“y”，“线宽”， 2) title(sprintf)添加1-p = %s的平滑样条，黄色， num2str(1-p)))保持从

你也可以提供csaps有了误差权重，要对某些数据点比其他数据点更注意。此外，如果您不提供评估网站xx,然后csaps返回平滑样条的ppform。

最后,csaps还可以处理向量值数据，甚至是多变量网格数据。

SPAPS命令

由命令提供的三次平滑样条spaps不同于csaps只在它被选择的方式上。以下是文档的缩写版本spaps：

SPAPS平滑样条。

[SP,VALUES] = SPAPS(X,Y,TOL)返回b表单，如果被询问，

的三次平滑样条f在X处的值

data (X(i)，Y(:，i))， i=1,2，…, n。

光滑样条f使粗糙度测量值最小

F(D²F):=积分(D²F(t))²dt在X(1)上< t < X(n)

对所有函数f进行误差测量

E (f): = sum_j {W (j) * (Y (:, j) - f (X (j))) ^ 2: j = 1,……n}

不大于给定的TOL。这里，D^M f表示第M个

f的导数，权值W的选择使得E(f)是

F(y-f)的复合梯形规则近似。

F被构造为唯一的最小化器

E(f) + f (D²f)

平滑参数RHO的选择使得E(f)等于

托尔。因此，FN2FM(SP，'pp')应该(直到四舍五入)相同

作为cpap的输出(X,Y,RHO/(1+RHO))。

公差与平滑参数

可能更容易提供一个合适的公差spaps比平滑参数p所要求的csaps．在前面的例子中，我们从区间中添加了均匀分布的随机噪声0.3 * -0.5 (. .0.5)．因此，我们可以估计一个合理的值托尔作为误差测量的值e在这样的噪音。

托尔((=数目。3 *(兰德(randomStream、大小(yi)))) ^ 2);

该图显示由。构造的平滑样条spaps．注意，错误权重被指定为统一的，这是它们的默认值csaps．

[sp, y,ρ]= spaps (xi, ybad、托尔(大小(xi)));情节(xi,咦,“:”“x”的r -)标题(sprintf (“干净数据，噪声数据，平滑值(1-p = %s)”， num2str(1/(1+)))));传奇({“准确”，“吵”，“平滑”}，“位置”，“西北”）

的值显示在图标题中p你会用incsaps精确地得到这些数据的平滑样条。

这里，另外，是由提供的平滑样条csaps当没有给定平滑参数时。在这种情况下csaps通过特定的特定过程选择参数，该过程试图定位平滑样条对平滑参数最敏感的区域(类似于前面的讨论)。

持有在情节(第二十一章,fnval (csaps (xi, ybad)第二十一章),“- - -”)标题(“干净数据，噪声数据，平滑值”)({传奇“准确”“吵”“spaps,指定公差”.．.'csaps，默认平滑参数'}，“位置”，“西北”)举行从

CSAPS与SPAPS

的csaps而且spaps命令的不同之处在于通过平滑参数和公差指定特定的平滑样条。另一个区别是spaps除了三次平滑样条外，还可以提供线性或五次平滑样条。

五次平滑样条比三次平滑样条更好当你希望二阶导数的移动尽可能小的时候。