b样条和平滑样条- MATLAB和Simulink - 卡塔尔世界杯8强比赛直播

b样条和平滑样条

在这个工具箱中，有一个带结的b样条的定义<年代p一个nclass="inlineequation">t<年代ub>j、……t_j+k是由

$B_{j ， k} （ x ）＝ B （ x | t_{j} ， .．. ， t_{j + k} ）＝（ t_{j + k} - t_{j} ）［ t_{j} ， .．. ， t_{j + k} ］ {（ x - \cdot ）}_{+}^{k - 1} ．$

这只是b样条的几种合理归一化之一。它是这样被选择的

$\sum_{j ＝ 1}^{n} B_{j ， k} （ x ）＝ 1 ， t_{k} \leq x \leq t_{n + 1} ．$

但是，与其尝试理解上面的b样条公式，不如看看GUI的参考页面bspliguib样条的一些基本属性，并使用该GUI获得一些关于这个有趣函数的第一手经验。对于这个工具箱来说，它最重要的属性也是它的名称中有字母B的原因:

给定顺序的(单变量)分段多项式的每个空间都有一个基础组成的B<年代p一个nclass="emphasis">-样条(因此B样条中的“B”)。

b样条属性

因为B<年代ub>j, k只有在区间(上非零t<年代ub>j．．t<年代ub>j₊_k)，所要确定的样条b样条系数的线性系统，通过插值或最小二乘逼近，甚至作为某微分方程的近似解<年代p一个nclass="emphasis">带状使得求解这个线性系统特别容易。例如，要构造一条样条年代的订单k与结序列t₁≤t₂≤···≤t<年代ub>n₊_k这年代（x<年代ub>我）=y<年代ub>我为我= 1,…,n，使用线性系统<一个class="indexterm" name="d124e15761">

$\begin{matrix} \sum_{j ＝ 1}^{n} B_{j ， k} （ x_{我} ） {一个}_{j} ＝ y_{我} & 我＝ 1 ： n \end{matrix}$

为未知b样条系数一个<年代ub>j其中每个方程最多k非零的条目。

此外，许多关于样条的理论事实都很容易用b样条来表述和/或证明。例如，可以在站点上匹配任意数据<年代p一个nclass="inlineequation"> $x_{1} < \dots < x_{n}$ 唯一的一条有顺序的样条<一个class="indexterm" name="d124e15784">k与结序列<年代p一个nclass="inlineequation">(t<年代ub>1、……t<年代ub>n + k）当且仅当<年代p一个nclass="inlineequation">B<年代ub>j, k(x<年代ub>j)≠0对所有j（<一个class="indexterm" name="d124e15810">Schoenberg-Whitney条件)。b样条的计算具有稳定性<年代p一个nclass="emphasis">递归关系

$B_{j ， k} （ x ）＝ \frac{x - t_{j}}{t_{j + k - 1} - t_{j}} B_{j ， k - 1} （ x ） + \frac{t_{j + k} - x}{t_{j + k} - t_{j + 1}} B_{j + 1 ， k - 1} （ x ）$

哪些也是有帮助的<一个class="indexterm" name="d124e15833">从B-form到ppform的转换。的<年代trong class="emphasis bold">双功能<一个class="indexterm" name="d124e15841">

${一个}_{j} （年代）：＝ \sum_{我 < k} {（ - D ）}^{k - 我 - 1} Ψ_{j} （ τ ） D^{我} 年代（ τ ）$

对象的有用表达式j该样条的第b样条系数年代根据它的值和在任意位置τ之间的导数t<年代ub>j而且t<年代ub>j + k,用<年代p一个nclass="inlineequation">ψ_j（t): = (t<年代ub>j + 1- t)···(t<年代ub>j + k - 1- t)/ (k1) !．它可以用来说明这一点一个<年代ub>j（年代)是密切相关的年代在区间上[t<年代ub>jt . .<年代ub>j + k，这似乎是将ppform转换为B-form最有效的方法。

变分方法与平滑样条

上面的<年代p一个nclass="emphasis">有建设性的方法<一个class="indexterm" name="d124e15905">并不是通向花键的唯一途径。在<年代p一个nclass="emphasis">变分方法中，得到一条样条<年代p一个nclass="emphasis">最好interpolant，例如，作为最小的函数米在某些位置上，所有与规定函数值相匹配的函数的导数。事实证明，在许多这样的样条曲线中，只有那些分段多项式或者分段指数曲线被广泛使用。具有特别实际意义的是<年代trong class="emphasis bold">平滑样条年代＝年代_p对于给定的数据(x<年代ub>我y<年代ub>我),x∊[a . .),所有我，并给出相应的正权重w<年代ub>我，并为给定<年代trong class="emphasis bold">平滑参数p，<一个class="indexterm" name="d124e15961">最小化

$p \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - f （ x_{我} ） |}^{2} + （ 1 - p ） \int_{一个}^{b} {| D^{米} f （ t ） |}^{2} d t$

在所有的功能f与米衍生品。结果是平滑样条年代样条是有序的吗2米每个数据站点都有休息时间。平滑参数,p，巧妙地选择，以达到想要的和想要的之间的平衡<一个class="indexterm" name="d124e15981">误差测量

$E （年代）＝ \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - 年代（ x_{我} ） |}^{2}$

小的想要<一个class="indexterm" name="d124e15990">粗糙度测量

$F （ D^{米} 年代）＝ \int_{一个}^{b} {| D^{米} 年代（ t ） |}^{2} d t$

小。希望是年代包含尽可能多的信息，而尽可能少的假设<一个class="indexterm" name="d124e16001">噪音，在数据中尽可能。一种方法(用于。<一个href="//www.ru-cchi.com/help/curvefit/spaps.html">spaps)是使F (D<年代up>米f)越小越好，但条件是E (f)不要超过规定的容许量。计算的原因,spaps使用(等效的)平滑参数<年代p一个nclass="inlineequation">ρ= p / (1 - p),即最小化<年代p一个nclass="inlineequation">ρE（f) +F（D<年代up>米f）．此外，有时使用更灵活的粗糙度测量也是有用的

$F （ D^{米} 年代）＝ \int_{一个}^{b} λ （ t ） {| D^{米} 年代（ t ） |}^{2} d t$

λ是一个合适的正权函数。