噪声信号

在科学应用中，信号经常被随机噪声破坏，掩盖其频率成分。傅里叶变换可以处理掉随机噪声，揭示频率。例如，创建一个新信号，xnoise，通过向原始信号中注入高斯噪声，x．

rng (“默认”) xnoise = x + 2.5*randn(size(t));

信号功率作为频率的函数是信号处理中常用的度量。功率是信号的傅里叶变换的大小的平方，由频率样本的数量归一化。计算并绘制以零频率为中心的噪声信号的功率谱。尽管有噪音，但由于功率的峰值，你仍然可以分辨出信号的频率。

Ynoise = fft(xnoise);Ynoiseshift = fftshift(ynoise);功率= abs(ynoiseshift).^2/n;情节(fshift、电力)标题(“权力”)包含(的频率(赫兹)) ylabel (“权力”）

计算效率

用傅里叶变换公式直接计算每一个 $$n$$的元素 $$y$$的顺序要求 $$n^2$$浮点操作。快速傅里叶变换算法只需要 $\mathit{n}\mathrm{日志}\mathit{n}$要计算的操作。在处理具有数百万个数据点的数据时，这种计算效率是一个很大的优势。许多快速傅里叶变换算法的特殊实现甚至更有效 $$n$$有小质因数，比如 $$n$$是2的幂。

以加利福尼亚海岸的水下麦克风收集的音频数据为例。数据库维护的库中可以找到此数据康奈尔大学生物声学研究项目．中加载并格式化数据的子集bluewhale.au，其中包含了太平洋蓝鲸的发声。因为蓝鲸的叫声是低频的，人类几乎听不到。数据中的时间刻度被压缩了10倍，以提高音调，使呼叫更清晰。您可以使用该命令声音(x, fs)来听完整的音频文件。

whaleFile =“bluewhale.au”；[x,fs] = audioread(whaleFile);whaleMoan = x(2.45e4:3.10e4);t = 10*(0:1/fs:(length(whaleMoan)-1)/fs);情节(t, whaleMoan)包含(的时间(秒)) ylabel (“振幅”xlim([0 t(end)])

指定一个新的信号长度，它比原来的长度大2的次幂。然后,用fft用新的信号长度来计算傅里叶变换。fft自动用零填充数据以增加样本大小。这种填充可以使变换计算显著加快，特别是对于具有大素数因子的样本量。

m = length(whaleMoan);N = pow2(nextpow2(m));y = fft(whaleMoan,n);

绘制信号的功率谱。曲线图显示呻吟声由一个约17hz的基频和一系列谐波组成，其中强调二次谐波。

F = (0:n-1)*(fs/n)/10;%频率矢量幂= abs(y).^2/n;功率谱情节(f(1:地板(n / 2))、电力(1:地板(n / 2)))包含(的频率(赫兹)) ylabel (“权力”）

正弦波相位

利用傅里叶变换，还可以提取原始信号的相位谱。例如，创建一个由频率为15hz和40hz的两个正弦波组成的信号。第一个正弦波是有相位的余弦波 $-\pi /4$，二是有相位的余弦波 $\pi /2$．对100hz的信号采样1秒。

Fs = 100;T = 0:1/fs:1-1/fs;X = cos(2* 15*t - /4) - sin(2* 40*t);

计算信号的傅里叶变换。把变换的幅度画成频率的函数。

Y = fft(x);Z = fftshift(y);Ly =长度(y);F = (-ly/2:ly/2-1)/ly*fs;茎(f, abs (z))包含(“频率(赫兹)”) ylabel (“y | |”网格)

计算变换的相位，去除小幅度的变换值。把相位画成频率的函数。

Tol = 1e-6;Z (abs(Z) < tol) = 0;=角(z);茎(f,θ/π)包含(“频率(赫兹)”) ylabel ("Phase / \pi"网格)