积分

计算数值和符号积分

积分是将无穷小的数据点组合起来的数学度量。积分在所有工程学科中都有广泛的应用。

类型的积分

一般来说,积分可以是任意一种明确的或不确定的.定积分表示有上限和下限的函数,不定积分表示没有上限的函数。

下面的例子展示了不定积分:

$ $ I = \ int3x ^ 2 dx = x ^ 3 + c $ $

其中c是常数。

同一方程的定积分必须有确定的极限。例如,我们可以对上式积分,取极限[- 2,2]为:

$$I= \int_{-2}^2 3x^2 dx=(2^3+c)-(-2^3+c)=16$$

您可以使用MATLAB®而且符号数学工具箱™计算积分数值而且象征性地

积分应用的例子

  1. 曲线下的面积

你可以用积分来计算两条曲线下的面积。例如,我们定义两条曲线,

x1 = y ^ 2 - 1 $ $ $ $

$ $ x2 = 1 - y ^ 2 $ $

计算曲线下面积如下:

$ $ =∫(x2-x1) dy = \压裂{y (y ^ 2 - 3) (2)} {3} $ $

这里曲线\('A ' \)下的面积是\('y ' \)的函数,因为我们没有指定极限。如果我们定义极限为\([-1,1]\),积分返回值为:

$ $ = 8/3。$ $

  1. 物体的体积

你可以用积分来计算物体的体积。例如,你可以从一个函数开始推导球体的体积:

$ $ f (x) =√(r ^ 2 x ^ 2) $ $

它描绘了一个半径为r的半圆。绕x轴旋转这个半圆会得到一个球体。

半圆的面积是

$ $ =πf (x) ^ 2 $ $

将这个面积与极限[-r, +r]积分得到球体的体积:

$$V=∫_{-r}^{+r} A dx=\frac{(4πr^3)}{3}$$

  1. 运动物体的速度

你可以通过求物体加速度对时间的定积分来求物体的速度,因为加速度被简单地定义为速度随时间的变化率。

$ $∆韦尔=∫Acc \;dt $ $

计算积分的技巧

你可以使用以下技巧来计算积分:

  1. 辛普森交
  2. Lobatto交
  3. Gauss-Kronrod交

有关积分的数值和符号计算的更多信息,请参见MATLAB®和符号数学工具箱™。



软件参考

数值积分

象征性的集成

参见:分析解决方案数学建模计算机代数系统量纲分析逆运动学

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