直流电动机伺服控制器的鲁棒性

不确定性建模的数据结构

鲁棒控制工具箱允许您创建不确定元素，例如其值不完全已知的物理参数，并将这些元素组合到不确定模型中。然后，您可以轻松地分析不确定性对控制系统性能的影响。

例如，考虑一个植物模型

在哪里γ可以在[3,5]和τ平均值0.5，变异性为30%。您可以创建一个不确定的P(s)模型，如下例所示:

= ureal(“伽马”4“范围”[3 - 5]);Tau = ureal(“τ”5,“比例”, 30);P = tf(γ，[tau 1])

具有1个输出，1个输入，1个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下模块组成:gamma:不确定实数，标称值= 4，范围=[3,5]，1次出现tau:不确定实数，标称值= 0.5，可变性=[-30,30]%，1次出现类型“P.NominalValue”查看标称值，“P.Uncertainty”与不确定元素相互作用。

假设你设计了一个积分控制器C对于标称植物(γ= 4,τ= 0.5)。来找出变异的γ和τ影响装置和闭环性能，形成闭环系统中电控股从C和P。

KI = 1/(2*tau.Nominal*gamma.Nominal);C = tf(KI，[10]);CLP =反馈(P*C,1)

具有1个输出，1个输入，2个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下块组成:gamma:不确定实数，标称值= 4，范围=[3,5]，1次出现tau:不确定实数，标称值= 0.5，可变性=[-30,30]%，1次出现类型“CLP”。以查看标称值和“CLP. value”。“不确定性”与不确定元素相互作用。

画出装置和闭环系统的阶跃响应。的一步命令自动生成20个不确定参数的随机样本γ和τ并绘制相应的阶跃响应图。

次要情节(2,1,1);步骤(P)、标题(“植物反应(20个样本)”次要情节(2,1,2);步骤(CLP)、标题(闭环响应(20个样本)）

图1:对象阶跃响应与闭环模型

下图显示，尽管工厂直流增益有显著波动，但闭环系统仍然相当稳健。这是一个设计合理的反馈系统的理想和共同特征。

具有参数不确定性和未建模动力学的直流电动机实例

这个例子建立在这个例子的基础上具有参数变化的直流电动机参考跟踪通过加入参数不确定性和未建模动力学，研究了伺服控制器对这种不确定性的鲁棒性。

直流电动机的标称型号是由电阻定义的R，电感l，电动势常数Kb、电枢常数公里，粘性摩擦的线性近似Kf惯性载荷J。这些组件中的每一个都在特定的值范围内变化。电阻和电感常数的范围在其标称值的±40%以内。使用尿素的来构造这些不确定参数。

R =真实的(“R”2,“比例”, 40);L =真实的(“L”, 0.5,“比例”, 40);

由于物理原因，的值Kf和Kb都是一样的，即使它们不确定。在本例中，标称值为0.015，范围在0.012到0.019之间。

K =真实的(“K”, 0.015,“范围”[0.012 - 0.019]);Km = K;Kb = K;

粘滞摩擦,Kf，其标称值为0.2，其值变化幅度为50%。

Kf = ureal(Kf的, 0.2,“比例”, 50);

电学与力学方程

电路中的电流和施加在转子上的转矩可以用施加的电压和角速度来表示。创建传递函数H把这些变量联系起来，然后AngularSpeed的输出H供以后使用。

H =[1、0公里]*特遣部队(1 (L R)) * [1 kb] + [0 0; 0 1; 0 kf);H.InputName = {“AppliedVoltage”；“AngularSpeed”};H.OutputName = {“当前”；“AngularSpeed”；“RotorTorque”};

电动机通常驱动惯性，其动态特性与施加的扭矩与角速度的变化率有关。对于刚体，这个值是一个常数。一个更现实但不确定的模型可能包含未知的阻尼共振。使用ultidyn目的建立不确定线性定常动力学模型。将刚体惯性的标称值设置为0.02，我们以乘法形式包含15%的动态不确定性。

J = 0.02*(1 + ultidyn“Jlti”[1],“类型”，“GainBounded”，“约束”, 0.15,…“SampleStateDim”4));

直流电机的不确定模型

把……联系起来是件很简单的事AngularSpeed输入到RotorTorque通过不确定惯性输出，J，使用融通命令。的AngularSpeed输入=RotorTorque / (J * s)。因此，使用从第三个输出到第二个输入的“正”反馈H建立联系。这种连接导致系统只有一个输入(AppliedVoltage)和两个输出(当前的和AngularSpeed）.

Pall = lft(H,tf(1，[10])/J);

只选择AngularSpeed控制分析剩余部分的输出。

P = Pall(2，:)

具有1个输出，1个输入，2个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下块组成:Jlti:不确定1x1 LTI，峰值增益= 0.15,1次K:不确定实数，标称= 0.015，范围=[0.012,0.019]，2次Kf:不确定实数，标称= 0.2，变异性=[-50,50]%，1次L:不确定实数，标称= 0.5，变异性=[-40,40]%，1次R:不确定实数，标称值= 2，变异性=[-40,40]%，1次出现键入“P.NominalValue”查看标称值，键入“P.Uncertainty”与不确定元素相互作用。

P是一种单输入、单输出的不确定直流电机模型。为了便于分析，请使用以下控制器。

t = tf(84*[.]233 1],[。[0357 10]);

开环的分析

首先，将标称直流电动机的阶跃响应与直流电动机不确定模型的15个样本进行比较。使用usample显式指定随机样本的数量。

clf step(ussample (P,15)，P. nomalvalue,3) legend(“样本”，“名义”）

图2:植物阶跃响应

同样，比较直流电机标称(红色)和采样(蓝色)不确定模型的波德响应。

波德(usample (P, 15), P.NominalValue);传奇(“样本”，“名义”）

图3:植物体反应

鲁棒性分析

在本节中，分析直流电机控制器的鲁棒性。闭环系统的名义分析表明，反馈回路非常稳健，增益裕度为22 dB，相位裕度为66°。

保证金(P.NominalValue *续)

图4:闭环鲁棒性分析

的diskmargin函数计算基于磁盘的增益和相位裕度。通过对所有频率和所有反馈回路中的增益和相位变化进行建模，磁盘裕度倾向于更准确地估计鲁棒性，特别是在多回路控制系统中。计算直流电机环路的基于磁盘的余量。

DM = diskmargin(p . nomalvalue *Cont)

DM =带有字段的结构体:GainMargin: [0.2792 3.5822] phasemmargin: [-58.8054 58.8054] DiskMargin: 1.1271下限:1.1271上限:1.1271频率:5.0062最坏摄动:[1x1 ss]

虽然小于经典的增益和相位裕度，但基于磁盘的裕度基本上证实了标称反馈回路是非常鲁棒的。现在，回想一下直流电动机是不确定的。模型的不确定性如何影响这些稳定边际?为了快速了解，绘制了不确定开环响应的20个样本的基于磁盘的增益和相位裕度。

diskmarginplot (P *续,P.NominalValue *续)传说(“样本”，“名义”）

植物不确定性的一些组合导致了较小的利润。该图只显示了一个小样本。使用最坏情况分析来找出利润率到底有多低。的wcdiskmargin函数直接计算模型不确定性的最坏情况增益和相位裕度。

wcDM = wcdiskmargin(P*Cont，“输出”）

wcDM =带有字段的结构体:GainMargin: [0.8729 1.1457] phasemmargin: [-7.7671 7.7671] DiskMargin: 0.1358下限:0.1358上限:0.1361 CriticalFrequency: 4.9831最差摄动:[1x1 ss]

mag2db (wcDM.GainMargin)

ans =1×2-1.1811 - 1.1811

在这里，最坏情况下的余量只有1.2 dB和7.8度，这表明对于某些不确定因素的组合，闭环几乎是不稳定的。

抗扰特性的鲁棒性

灵敏度函数是反馈系统闭环性能的标准度量。计算不确定灵敏度函数年代并比较标称不确定灵敏度函数和采样不确定灵敏度函数的波德幅度图。

S = feedback(1,P*Cont);bodemag(年代,S.Nominal)传说(“样本”，“名义”）

图5:灵敏度函数S的大小。

在时域，灵敏度函数表示对阶跃干扰的抑制程度。绘制其阶跃响应，以查看抗扰特性的可变性(标称为红色)。

步骤(年代,S.Nominal)标题(“抗干扰”)传说(“样本”，“名义”）

图6:抑制阶跃干扰。

使用wcgain函数来计算灵敏度函数的峰值增益的最坏情况值。

[maxgain,worstuncertainty] = wcgain(S);maxgain

maxgain =带有字段的结构体:下限:7.5199上限:7.5359 CriticalFrequency: 4.9980

与usubs函数可以将不确定元素的最坏情况值代入不确定灵敏度函数年代。这给出了最坏情况下的灵敏度函数Sworst在整个不确定范围内。的峰值增益Sworst与计算的下限匹配wcgain。

Sworst = usubs(S,worstuncertainty);规范(Sworst正)

Ans = 7.5199

maxgain。lowerBound

Ans = 7.5199

现在比较名义灵敏度和最坏情况灵敏度的阶跃响应。

步骤(Sworst S.NominalValue 6);标题(“抗干扰”)传说(“最坏的”，“名义”）

图7:阶跃扰动的标称和最坏情况抑制

显然，某些不确定元素的组合显著降低了控制器快速抑制干扰的能力。最后，绘制灵敏度函数的标称值和最坏情况值的大小。观察到的峰值Sworst发生的频率maxgain。CriticalFrequency：

bodemag (Sworst S.NominalValue)传说(“最坏的”，“名义”)举行在semilogx (maxgain.CriticalFrequency, 20 * log10 (maxgain.LowerBound),“g *”）

图8:标称灵敏度和最坏情况灵敏度的大小