MATLAB求解ode, 10:翻滚箱
从系列中:用MATLAB求解ode
把一个边长为三种不同长度的长方形物体(比如麦片盒)抛向空中。你可以让这个盒子绕着它的最长轴或最短轴稳定地转动。但是如果你试着让它绕着中轴旋转,你会发现这个运动不稳定。角动量模型是一个由三个微分方程组成的非线性系统。有六个临界点:长、短轴对应的四个是稳定的;中轴对应的两个是不稳定的。
这是一个滚箱角动量的微分方程。试着把一本书,或者一个盒子,或者任何三维不同的直线物体,扭向空中,让它翻滚。
你可以绕着最长的轴旋转,也可以绕着最短的轴旋转。但是你不能绕着它的中轴旋转。让我们用数值方法来检验这个现象。
这是一个匿名函数定义了三个一阶微分方程组。现在我要从接近第一个临界点的初始条件开始。1,0,0是临界点。取0.2乘以一个随机数,使它接近临界点,然后将它归一化,使它的长度为1。
所以最大的分量是第一个分量。另外两个很小,但也不算太小。这是一个简单的数值问题。这里没有刚度。我用ODE 23,从0到10积分,这是解。
蓝色分量是第一个,它保持在1附近。另外两个是周期性的,围绕0旋转。让我们回到另一个开始条件。再看一遍。
另外两个分量都很小。当我们对它积分时,蓝色分量保持在1附近。另外两个人几乎一动也不动。
现在我们来看第三个临界点,0,0,1。做同样的事情。在这附近取一个随机数。使用ODE 23。现在黄色的分量保持在1附近。另外两个在0附近周期性移动。
再运行一次。第三个分量在1附近。另外两个不是太大。然后运行ODE 23。另一个分量保持在1附近。另外两个围绕0周期性旋转。
现在我们来到中间临界点。我们要试着让盒子绕着中轴旋转。第二个分量是1附近的那个。现在我们看到了完全不同的行为。
这个西耶纳分量不在1附近。它在-1附近下降,然后又上升。我们在更长的时间内积分,这样我们就能看到它的变化。
所以它是周期性的。但是它下降到-1,然后又回到1。另外两个在0附近大幅度运动。这就是中间临界值的不稳定性。
我们再做一次。同样的事情。从1到-1,再往上。这是周期性的。这些解都是周期性的。但是中间临界点是不稳定的。现在我想用另一种方式,用图形的方式来看待这些。
微分方程有这三个临界点。任何从这些初始条件开始的解都保持不变。但是如果你从这些初始条件开始呢?
结果证明,x和z是稳定临界点。但y是一个不稳定临界点。如果角动量在x或z附近,它就在这附近。但如果它从y附近开始,它会迅速远离。
你可以认为x是短轴,z是长轴。短轴附近的旋转是稳定的。并且在长轴附近旋转稳定。但是靠近中轴的旋转是不稳定的。
我们可以在下面的图表中看到。如果一个解的初始条件是范数1,那么它就会一直是范数1。所以解在单位球上。
这是我们的单位份额和三个临界点,x, y, z,如果这是地球,z就是北极。第0子午线穿过赤道的轴线。那是在大西洋东部,离西非有点远。Y是子午线90度与赤道的交点。那是在苏门答腊岛以西的印度洋上。
如果我们从x附近的初始条件开始,解围绕x旋转,这是绕短轴的稳定旋转。如果我们从z附近的初始条件开始,解绕z轨道运行,这是绕长轴的稳定旋转。
但如果我们从y附近开始,溶液就会起飞,到达-y附近,然后转一圈,回到y,这是周期性的,但在整个地球上都是透明的。实际上,这是一个圆,一个绕x的轨道。
如果在y上方一点,我们得到一个绕z的轨道,在y下方一点,我们得到一个绕-z的轨道。在y的右边,有一个绕-x的轨道。
让我们放大一点。我们可以看到y是一个典型的不稳定临界点。让我们画几个轨道来结束。
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