今天从特征值和特征向量开始。我们需要这些的原因是为了解线性方程组。系统意味着不止一个方程,n个方程。在这里的例子中N = 2。
所以特征值是一个数,特征向量是一个向量。它们都隐藏在矩阵中。一旦我们找到他们,我们就可以利用他们。我来告诉你们,特征值被创造,发明,发现的原因是为了解微分方程,这是我们的目的。
那么为什么现在是一个向量——这是一个方程组。我一会儿会举个例子。A是一个矩阵。我们有n个方程,y的n个分量,A是一个n × n矩阵,n行,n列。好。
现在我可以马上告诉你们特征值和特征向量在什么地方是有用的。它们进入溶液中。我们寻找这样的解决方案。当我们有一个方程时,我们只求e ^ st的解,我们找到了s,现在我们有e ^ t,我们把s变成,没问题,但是乘以一个向量,因为我们的未知数是一个向量。这是一个矢量,但它不依赖于时间。这就是它的美妙之处。所有的时间依赖都是指数的。x就是这个指数的倍数,你们会看到。
所以我寻找这样的解。我把它代入微分方程,会发生什么?这是我的方程。代入e ^ (tx)这是y,这是A乘以y。现在,y的导数,时间导数,得到a。为了得到导数,我包含了。
你们看到了吗用这个漂亮的符号代入方程就是这个必须成立。方程变成了这个形式。现在我消掉t,就像我一直消掉e ^ st一样,所以我消掉e ^ t因为它永远不会为零。我有一个大的方程,Ax,矩阵乘以特征向量,等于x,这个数,特征值,乘以特征向量。注意,不是线性的。两个未知数相乘。一个数乘以一个向量x。
那么我在找什么呢?我在找向量x,特征向量,所以乘以A,乘以A乘以x得到一个数字乘以x,它和x方向相同只是长度改变了。如果= 1,Ax = x,这是允许的。
如果= 0,Ax = 0。没关系。我不想让x等于0。这是无用的。知道0是解是没有用的。所以x不应该是0。可以是任意数。它可以是实数,也可以是复数,你们会看到。即使矩阵是实数,也可以是复数。不管怎样,Ax = x,这是一个大方程。 It got a box around it.
现在我准备做一个例子。在这个例子中,首先,我要找出特征值和特征向量没有一个系统,只是在2 × 2的情况下。我将给出一个2 × 2矩阵a,我们将找到和x,然后我们将得到微分方程组的解。好。
这就是系统。这是y1的第一个方程,'意思是导数,d比dt,时间导数,是线性的,常数系数。第二个,线性,常系数,3和3。这些数字,5 1 3 3,进入矩阵。那么这个问题就是y ',这个向量的导数,等于A乘以y,这是我的问题。
现在特征值和特征向量可以解出它。我看一下这个矩阵。矩阵的问题。特征值是什么,这个矩阵的特征向量是什么?记住,我想要Ax = x。
我已经找到了第一个特征向量。1、1。我们可以检查它是否有效。如果我把A乘以那个特征向量,你们看到当我乘以1会发生什么了吗?结果是6。结果是6。所以A乘以这个向量是。这是6乘以。好了。找到了第一个特征值。 If I multiply A by x, I get 6 by x. I get the vector 6, 6.
现在,第二个。再一次,我已经提前做过了,得到了这个特征向量,我认为它是1 - 3。所以我们乘以a,试试第二个特征向量。我应该称第一个为x1和1。我应该称它为x2和2。我们可以找出2是什么,一旦我找到了特征向量。我只是用ax来识别特征值。
所以1乘以这个等于5 - 3等于2。是2。这里是2。从3得到3 - 9等于- 6。这就是Ax的表达式。这是x,当我做乘法运算时,Ax等于2 - 6。好。
输出是输入的两倍。特征值是2。对吧?我在找输入,特征向量,所以输出是一个数乘以那个特征向量,那个数是,特征值。现在我找到了这两个。对于一个2 × 2矩阵,我期望是2。你很快就会明白为什么我期望两个特征值,每个特征值应该有一个特征向量。
它们是这个矩阵的。现在我有答案了。y (t)代表y1和y2 (t)它们是e ^ (tx)记住,这就是我们要找的图像。
第一个是e ^ (6t) * x,也就是。如果我把它代入方程,它就能解出方程。还有,我还有一个。E的2次方等于2t。E的t次方乘以它的特征向量,1 - 3。这也是一个解。一个解,另一个解。
我怎么处理线性方程呢?我取组合。它的任意数c1加上它的任意数c2仍然是一个解。这就是叠加,将线性方程的解相加。这些是零方程。在这些方程中没有力项。我处理的不是力项。我在寻找零解,方程本身的解。
我有两个解,两个系数可以选择。我如何选择他们?当然,我满足初始条件,所以在t = 0时。在t = 0时。在t = 0时,有y (0)这是给定的初始条件,y和y。
设t = 0,这是其中之一。当t = 0时,等于1。就得到c1 * (1,1)c2,在t = 0时也是1,乘以1 - 3。它决定了c1和c2。C1和c2来自于初始条件和以前一样。
我在解两个一阶常系数线性方程,齐次方程,没有力项。所以我得到了一个有常数可选的零解,和往常一样,这些常数来自于匹配初始条件。初始条件是一个向量。举个例子,如果y(0) = 2 - 2,那么我就会想要这两个中的一个。好的。
我已经用特征值和特征向量来解线性系统,它们的首要目的。好的。但是我怎么找到那些特征值和特征向量呢?其他属性呢?特征值和特征向量是怎么回事?我可以再讲几分钟关于特征值和特征向量的内容吗?基本事实,下个视频我会告诉你如何找到它们。好了,基本事实。
基本的事实。从Ax = x开始,假设我们找到了这些。你能告诉我A平方的特征值和特征向量吗?我想知道A²的特征值和特征向量是什么。它们和这些有联系吗?假设我知道A的x和,那么A的平方呢?
好的是特征向量对于A的平方是相同的。我来演示一下。我说相同的x,所以这是相同的x,相同的向量,相同的特征向量。特征值是不同的,当然,对于A的平方,但是特征向量是相同的。我们看看A的平方会怎样。
这就是Ax,对吧?一个A,另一个Ax。但是Ax = x,你们理解了吗?就是A乘以Ax。所以没关系。现在是一个数字。我喜欢把它放在我能看到的地方。所以我什么都没做。这个数乘以了所有数,所以我把它放在前面。
现在斧子。我又有了斧头。这是x因为我们看的是相同的x,相同的x,所以得到相同的。这是x,另一个。我有²x,这就是我想要的。A²x等于²x。
结论。特征向量保持不变,变成平方。特征值是平方的。
如果我再举一个例子——哦,让我找出那个矩阵。假设我有相同的矩阵我对A的平方感兴趣,那么特征值就是36和4,平方。假设我在看一个矩阵的n次幂。你可能会说为什么要看n次幂?但是有很多关于矩阵的n次幂,千次幂的例子。
我们把结论写下来。同理,A的n次x次方等于。是一样的x,每次我乘以A,我都乘以A。得到n乘以。这就是一个简单的规则。
这告诉了我们特征值对什么有用。特征值对随时间运动的东西很有用。微分方程,它是随时间运动的。N = 1是第一次,N = 0是第一次。一步到n = 1,再一步到n = 2。继续。每一步都要乘以。
这是一个非常有用的规则。另一个方便的规则是A +恒等式呢?假设我把单位矩阵和原来的矩阵相加。特征值发生了什么变化?特征向量发生了什么?基本的问题。或者我可以用常数乘以单位元,2乘以单位元,7乘以单位元。
我想知道它的特征向量是什么。答案是一样的,同样的x。同样的x,我通过求出这里的值来证明。这是Ax,也就是x,这是c乘以单位矩阵乘以x,单位矩阵没有任何作用,所以就是cx。
那么我现在得到了什么?我已经知道特征值是+ c,所以这就是特征值。我把它看成是把A平移成单位矩阵的一个倍数。移动A,加上5倍的单位元。如果我对任何矩阵加上5乘以单位矩阵,这个矩阵的特征值增加5。特征向量保持不变。
所以只要我一直处理矩阵a,取幂,加上单位矩阵的倍数,然后取指数,无论我做什么我保持相同的特征向量,一切都很简单。
如果我有两个矩阵A和B,它们有不同的特征向量,那么我不知道A + B的特征向量是什么。我不知道这些。我不能说A乘以B的特征向量因为A有它自己的特征向量B也有它自己的特征向量。除非它们是相同的,否则我不能轻易地把A和b结合起来,但我总是用一个A和它的幂和这样的步骤,没有问题。
好的。我先停在这里看一下特征值和特征向量。
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