积分

积分是一种结合无穷小数据点的数学度量。积分在所有工程学科中都有广泛的应用。

积分的类型

一般来说，积分可以是任意一种确定的还是不定的。定积分表示有上限和下限的函数，而不定积分表示没有上限的函数。

下面的例子展示了一个不定积分:

$$I= \int3x^2 dx=x^3+c$$

其中c是常数。

同一个方程的定积分必须有明确的极限。例如，我们可以将上式与极限[- 2,2]积分如下:

$$I= \int_{-2}^2 3x^2 dx=(2^3+c)-(-2^3+c)=16$$

你可以使用MATLAB^®而且符号数学工具箱™计算积分数值而且象征性地。

积分应用实例

1. 曲线下面积：

你可以用积分来计算两条曲线下的面积。例如，我们定义两条曲线，

x1 = y ^ 2 - 1 $ $ $ $

$ $ x2 = 1 - y ^ 2 $ $

计算曲线下面积如下:

$ $ =∫(x2-x1) dy = \压裂{y (y ^ 2 - 3) (2)} {3} $ $

这里曲线A下的面积是y的函数，因为我们没有指定极限。如果我们将极限定义为\([- 1,1]\)，积分返回值为:

$ $ = 8/3。$ $

2. 对象体积：

你可以用积分来计算物体的体积。例如，你可以从一个函数开始推导出一个球体的体积:

$ $ f (x) =√(r ^ 2 x ^ 2) $ $

它描绘了一个半径为r的半圆。“绕x轴旋转这个半圆会得到一个球体。

半圆的面积是

$ $ =πf (x) ^ 2 $ $

将这个面积与极限[-r， +r]积分，可以得到球面的体积:

$$V=∫{-r}^{+r} A dx=\frac{(4πr^3)}{3}$$

3. 运动物体的速度：

你可以通过求物体加速度对时间的定积分来求物体的速度，因为加速度被简单地定义为速度变化率除以时间。

$$∆Vel=∫Acc \;dt $ $

计算积分的技巧

你可以使用以下技术计算积分:

1. 辛普森交
2. Lobatto交
3. Gauss-Kronrod交

有关积分的数值和符号计算的更多信息，请参阅MATLAB^®和符号数学工具箱™。