好的。这是一阶微分方程的下一步。我们取。不是指数,而是振荡。指数,上节课讲过,增长或衰减,现在我们有一个振荡。在这个问题中,我们有交流,交流电,而不是实指数,我们有振荡,振动,所有的应用都涉及到圆周运动,一圈又一圈,而不是指数衰减。
好的。这就是重点。我在寻找特解。特解,如果我们说特解是cos的倍数就更好了。但这行不通。这使得这道题比指数题难一步。
我们得让那些标志进去。因为,如果我寻找cos,如果我只尝试这部分,我可以匹配它。a乘以cos,就是cos。cos的导数是sin函数。所以符号会进入这里我们必须允许它们进入溶液。
好的。这是正确的假设。实际上,你们会看到,这个问题的答案有三种不同的写法。这是第一个最直接的,但从长远来看不是最好的。
好的。直接的,我要把它代入方程然后求出M和n,这是我的工作。找到这些数字。把它代入方程。
左边是导数,cos的导数是- m sin t,导数提出了这个因子。cos的导数是sin。
现在对它求导得到一个因子N cos t,它应该等于a乘以y,这是y,所以我只要乘以a, a M cos t,和a N sin t,这是ay部分。现在我有源项加上cos t,这对所有时间都成立。
现在我需要方程。我该怎么处理这个?我要找两个东西,M和n,我要找两个方程。
我匹配cos项。我匹配这一项,cos项,和源项。它们都乘以cos t,所以我想要n,所以我把这个移到另一边- a m + n等于,这里只有一个cos,等于1。- a M + N = 1。
现在我要匹配sin项。在sin项中,我有- M sin t,我要把这个移到另一边,所以这是a - an sin t,在源中没有sin t。
这是我的两个方程。这是M和n的两个方程我只要解这两个方程就得到了我要找的特解。
这是两个方程,两个未知数。这是线性代数的基本问题。我倾向于把我提前准备好的答案写下来。结果是- a /²+ a²。N等于²+ a²,上面是。
如果你检查这个方程,例如,乘以M会得到一个带负号的。然后a乘以N也会有a。同样的平方加上a的平方,消去得到0。这个方程也解出来了。
又一个重要的问题解决了。我们找到了特解。我没有加入,我没有满足初始条件。
在很多很多情况下,我们感兴趣的是这个特解。这里,我把解圈起来,我们把它代入微分方程。我们发现了m,我们发现了n,我们得到了这个特解。
这就是持续的振荡。如果我们在听收音机或者有交流电,这就是我们看到的,零解。没有源项的项。
通常a是负的,这就消失了。这叫做暂态项。零解就是ae ^ at。但我对这个不感兴趣,因为它消失了。一分钟后你就听不见了。这就是答案,这就是你的耳朵听到的。
好的。我们得到了一种形式的答案。这是一个很好的形式,但并不完美。我不太清楚,这可以用一种很好的方式简化。当我们处理sin和cos的时候,下一步是很重要的。
我相信同样的yp (t)可以写成另一种形式——另一种形式,不同的——我应该说,同样的y (t)的另一种形式,同样的y (t)另一种形式,我不喜欢有cos和sin因为它们是不相的,它们组合成某种东西,我想知道它们组合成什么。这真的很好。它们组合成一个cos,但不只是t,有一个滞后,一个相移。所涉及的角度通常称为相位。
所以这两个,正弦和余弦,结合起来得到了一个具有振幅的相移,也许我叫它G,增益。通常它被称为大写R,因为你在这里看到的是极坐标。所以我想要匹配这个,它有G和极坐标是考虑这个的正确方式。G和,大小和角度。我想把它和我已有的形式匹配起来。
我要用一点三角函数来记住它等于,我有一个g,你们还记得cos (a - b)的公式吗?差值的余弦是cos (t) cos()加上,这里是正的因为这里是负的,sin (t) sin。我刚刚把它写成了两项形式,我这样做是为了和我已经有的两项形式相匹配。
我可以直接做匹配吗?cos t M一定是gcos。N一定是gsin。
现在我有两个方程。M和N,我还记得是什么。我算出来了。
但是现在我想把mn的形式转换成G的形式,这就是我要做的。这在极坐标中是很常见的。我怎么才能知道G是多少,以及是多少?诀窍是——当你看到cos和sin时,一个基本的恒等式是——记住cos的平方加sin的平方等于1。我要用它,必须用它。
两边同时平方。得到M方,然后相加,得到M方+ N方等于G方cos方。G²乘以cos²,当我对这个平方,当我对这个平方sin²。重点是,这是1。这就是G方。
我学到了什么?G是这个的平方根。G等于M方加N方的平方根。我总是自由插入我找到的M和N。
好的,那呢?这是角度。所以我必须——再说一次,我在考虑三角函数。我怎么得到呢?我现在想把G从这个公式中提出来,只关注。之前我得到了alpha,得到了G。
现在的方法是取这个比值。如果我取这个和这个的比值,用一个除以另一个,G就消掉了。所以我取这个和那个的比值得到G sin除以G cos等于N / m G像我想的那样消掉了。
现在我有了一个方程。或者更确切地说,我有tan的方程。sin / cos等于tan等于N / M。
这叫做,你可以叫它正弦恒等式。正弦这个词是什么?正弦这个词表示sin和cos的任意组合,相同t的sin和cos的任意组合。
正弦恒等式表示我可以把这个解改写成这个解。我真正看到的关键数字是增益,大小。就是我们调收音机时电台的声音有多大。这是一个持续的响应因为余弦会一直振荡。初始条件下也会有一些我们预期会消失的东西。
我一开始就说过这个cos输入有三种形式,我已经给出了两种形式。我已经给了你们M和N的形式。你可以说直角坐标,cos和sin。我已经给出了极坐标形式,即增益,幅值和相位。第三个是复数。我得单独讲一讲,甚至两讲。
那么复数从何而来呢?这是一个完全真实的方程。如果我想一下我所做的这些,它们都是完全真实的,但是有一个联系——关于复数的关键事实,欧拉的伟大公式会给我cos t和sin t和e的I t次方之间的联系,所以在引入复数的代价下,虚数I,或者电气工程师的j,我们回到指数。我们回到指数。这是下一讲的内容。
这是一个很好的源函数的又一个例子。也许我可以说,最好的源函数是什么?这是源函数,很好。指数级就更好了。康斯坦是最好的。
另一个我要介绍的是函数。函数是一个脉冲,是在瞬间发生的。这是一个有趣的,非常有趣和非常重要的可能性。
好的。谢谢你!
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