微分方程与线性代数,1.1:微分方程概述
从系列:微分方程和线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
线性方程包括dy / dt=y, dy / dt= -y, dy / dt=2泰。这个方程dy / dt=y*y是非线性的。
好的。第一个视频的目的是告诉你们接下来会发生什么,给大家一个关于常微分方程的合理学习大纲。这个系列的大部分视频都是关于一阶方程和二阶方程的视频。这些是你们在应用中最常看到的。如果你幸运的话,这些问题是你可以理解和解决的。
一阶方程意味着一阶导数加入到方程中。这是一个我们要解的很好的方程,我们会花很多时间在上面。导数是,这是y的变化率,未知y的变化,随着时间的推移部分取决于解本身。这就是微分方程的思想,它把变化和函数y联系起来。
然后输入q (t)它产生自己的变化。它们进入系统。它们成为y的一部分,它们增长,衰减,振荡,不管y (t)做什么。所以这是一个线性方程,它的右边有一个输入,一个强迫项。
这是一个非线性方程。y的导数,斜率取决于y,这是一个微分方程。但是f (y)可以是y²/ y³或者sin y或者y的指数,所以它可能不是线性的。线性的意思是我们单独看到y。在这里,我们不会。我们会很接近得到一个解,因为这是一个一阶方程。最一般的一阶方程,函数依赖于t和y,输入会随时间变化。这里,输入只取决于y的当前值。
我可能会认为y是银行里的钱,在增长、衰减、振荡。或者我可以把y看成弹簧上的距离。有很多的申请。
好的。这些都是一阶方程。二阶方程有二阶导数。二阶导数是加速度。它告诉你曲线的弯曲程度。
如果我有一个图,我们知道的一阶导数给出了这个图的斜率。它是上升的吗?是在下降吗?是最大值吗?
二阶导数告诉你图的弯曲程度。它如何偏离直线。这就是加速度。所以牛顿定律——我们所熟知的物理学——就是加速度等于某个力。有一种力,又是线性依赖的——这是一个关键词——与y有关,就是y的一次方。
这里有一个更通用的方程。在牛顿定律中,加速度乘以质量。所以这里包含了一个物理常数,质量。
然后可能会有一些衰减。如果我有运动,可能会有摩擦使它减速。这取决于一阶导数,速度。
然后可能会有同样一种依赖于y本身的强制项。也可能有一些外力,一些人或机器产生了运动。一个外力的术语。
这是一个很大的等式。我这么说吧,在这一点上,我们让它是非线性的。我们有一个很好的机会。如果我们让它们是非线性的,二阶的概率就下降了。我们越深入,就越需要线性,甚至可能需要常系数。m, b,和k,所以这才是我们真正能解决的问题,当我们擅长它的时候是一个线性方程——我们说二阶吧——常系数。但这基本上推动了我们希望明确做的事情并真正理解它的解,因为常系数的线性。再说一遍。这是很好的方程式。
我想到的解决办法有两种。如果我有一个很好的函数,比如指数函数。指数函数是微分方程中最重要的函数,是这个系列中最重要的函数。你们会经常看到它们。指数。f (t)等于e的t次方,或者e的t次方,或者e的i t次方,i等于- 1的平方根。
在这些情况下,我们会得到解的一个类似的很好的函数。这些都是最好的。我们得到一个像指数一样的函数。我们得到了已知的解。
次优是我们得到一些我们并不特别知道的函数。在这种情况下,解可能包含一个f的积分,或者两个f的积分,我们有它的公式。这个公式包含了一个我们必须要做的积分,要么查字典,要么用数字来做。
然后当我们得到完全非线性的函数时,或者我们有不同的系数,然后我们就会进行数值化。所以真的,这门课很宽很宽的部分最终会变成数值解。但是你会看到一大堆视频,它们有很好的函数和解。
好的。这就是一阶和二阶。现在还有更多,因为一个系统通常不只是由一个电阻器或一个弹簧组成。实际上,我们有很多方程。我们需要处理这些方程。
所以y现在是一个向量。Y1, y2,到yn。n不同的未知数。n不同的方程。这是n方程。这是一个n × n矩阵。所以它是一阶的。常系数。所以我们可以得到一个结果。但它是一个由n个耦合方程组成的系统。
还有这个二阶导的。解的二阶导数。还是从y1到yn。我们有一个矩阵,通常是一个对称矩阵,我们希望,乘以y。
所以,线性的。常系数。但同时是几个方程。这就引入了特征值和特征向量的概念。特征值和特征向量是线性代数的一个关键部分,它使这些问题变得简单,因为它把这个耦合问题变成了n个不耦合问题。N个我们可以单独求解的一阶方程。或者n个二阶方程我们可以单独求解。这就是矩阵的目标是解耦它们。
好的。这门课真正的现实是解是用数字和非常有效的方法找到的。这方面有很多东西要学,很多东西要学。MATLAB是一个一流的软件包,它给你提供了很多选项的数值解。
其中一个选项可能是最受欢迎的。常微分方程的ODE 4 5。这是数字4,5。Cleve Moler写了MATLAB程序包,他将创建一系列并行视频,解释数值解的步骤。
这些步骤都是从一个非常简单的方法开始的。也许我会把创造者的名字写下来。欧拉。所以你可以知道,因为欧拉是几百年前的人,他没有电脑。但他有一个简单的近似方法。所以欧拉可能是ODE 1。现在我们把欧拉抛在后面。欧拉很好,但不够精确。
ODE 45, 4和5表示那个包的准确性更高,灵活性更大。所以从欧拉开始,Cleve Moler将解释几个步骤,以达到一个真正的主力包。
这是一个平行级数,你会看到代码。这将是一个粉笔和黑板的系列,我将找到指数形式的解。如果可以的话,我想通过得到偏微分方程来结束这个级数。
我在这里写一些偏微分方程,这样你们就知道它们是什么意思了。这是我希望达到的目标。
一个偏微分方程是du dt——你们看到偏导数了——是二阶导数。现在有两个变量。时间,我一直都有。这是x在空间方向上。这叫做热方程。这是一个非常重要的常系数,偏微分方程。
所以PDE,区别于ODE。我再写一个。u的二阶导数和x方向上的二阶导数是一样的。这就叫做波动方程。
这就像是时间的一阶方程。它就像一个大系统。事实上,它就像一个无限大小的方程组。时间上是一阶的。或者是二阶时间。热方程。波动方程。
我还想加上一个拉普拉斯方程。好吧,如果我们做到了。以上就是本系列课程最后的目标,超越了ode的一些课程。但这里的主要目标是给你们一个标准清晰的基本微分方程的图像,我们可以解决和理解。
嗯,我希望一切顺利。谢谢。
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