噪声信号

在科学应用中，信号经常被随机噪声破坏，掩盖了它们的频率成分。傅里叶变换可以处理随机噪声，揭示频率。例如，创建一个新信号，xnoise，通过在原始信号中注入高斯噪声，x．

rng (“默认”) xnoise = x + 2.5*randn(size(t));

信号功率是频率的函数，是信号处理中常用的度量指标。功率是信号傅里叶变换大小的平方，由频率样本的数量归一化。计算并绘制以零频率为中心的噪声信号的功率谱。尽管有噪声，但由于功率的峰值，你仍然可以分辨出信号的频率。

ynoise = fft (xnoise);ynoiseshift = fftshift (ynoise);功率= abs (ynoiseshift)。^ 2 / n;情节(fshift、电力)标题(“权力”)包含(的频率(赫兹)) ylabel (“权力”）

计算效率

用傅里叶变换公式直接计算每一个 $$n$$的元素 $$y$$要求的顺序 $$n^2$$浮点操作。快速傅里叶变换算法只需要 $\mathit{n}\mathrm{日志}\mathit{n}$操作来计算。这种计算效率在处理具有数百万数据点的数据时是一个很大的优势。许多快速傅里叶变换算法的专门实现甚至在 $$n$$有小的质因数，比如 $$n$$是2的幂。

想想从加利福尼亚海岸的水下麦克风收集到的音频数据。的库中可以找到此数据康奈尔大学生物声学研究项目．中的数据子集加载并格式化bluewhale.au，里面有太平洋蓝鲸的叫声。因为蓝鲸的叫声是低频的，人类几乎听不到。数据中的时间尺度被压缩了10倍，以提高音调，使呼叫更清晰。可以使用该命令声音(x, fs)监听整个音频文件。

whaleFile =“bluewhale.au”；[x, fs] = audioread (whaleFile);whaleMoan = x (2.45 e4:3.10e4);t = 10 * (0:1 / fs: ((whaleMoan) 1)长度/ fs);情节(t, whaleMoan)包含(的时间(秒)) ylabel (“振幅”) xlim ([0 t(结束)))

指定一个比原长度大2次幂的新信号长度。然后,用fft用新的信号长度计算傅里叶变换。fft自动填充数据与零，以增加样本量。这种填充可以大大提高转换计算的速度，特别是对于具有较大素数因子的样本大小。

m =长度(whaleMoan);n = pow2 (nextpow2 (m));y = fft (whaleMoan n);

画出信号的功率谱。图表显示呻吟由17赫兹左右的基频和一系列的谐波组成，其中第二谐波被强调。

f = (0: n - 1) * (fs / n) / 10;%频率向量功率= abs (y)。^ 2 / n;%功率谱情节(f(1:地板(n / 2))、电力(1:地板(n / 2)))包含(的频率(赫兹)) ylabel (“权力”）

阶段的正弦曲线

利用傅里叶变换，还可以提取原始信号的相位谱。例如，创建一个由两个频率为15hz和40hz的正弦信号组成的信号。第一个正弦是有相位的余弦波 $-\pi /4$，第二种是有相位的余弦波 $\pi /2$．以100hz采样信号1秒。

fs = 100;t = 0:1 / fs: 1 - 1 / f;X = cos(2* *15*t - /4) - sin(2* *40*t);

计算信号的傅里叶变换。画出变换的幅度作为频率的函数。

y = fft (x);z = fftshift (y);ly =长度(y);f =(以某方式/ 2:ly / 2 - 1) / ly * fs;茎(f, abs (z))包含(“频率(赫兹)”) ylabel (“y | |”网格)

计算变换的相位，去除小幅度变换值。把相位画成频率的函数。

托尔= 1 e-6;Z (abs(Z) < tol) = 0;θ=角(z);茎(f,θ/π)包含(“频率(赫兹)”) ylabel (“阶段/ \π”网格)